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Projekt
Approximationsmethoden für statistische Erhaltungssätze zur Beschreibung hyperbolisch dominierten Transportes
Antragsteller
Professor Dr.-Ing. Martin Oberlack; Professor Dr. Christian Rohde
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Strömungsmechanik
Strömungsmechanik
Förderung
Förderung seit 2023
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 526024901
Wir betrachten turbulente inkompressible Strömungen, die durch die Navier-Stokes Gleichungen beschrieben werden. Der Fokus des Projektes ist auf konvektionsdominanten Regimen, in denen die Effekte des nichtlinearen hyperbolischen Transporttermes entscheidend sind. Diese Regime hoher Reynoldszahlen führen auf die dissipative Anomalie, die typischerweise in der Form statistischer Skalengesetze beschrieben wird und gemittelte Variationen des Geschwindigkeitsfeldes durch die Dissipationsrate der Energie ausdrückt. Die meisten der klassischen Skalengesetze sind bis heute Postulate geblieben, die nicht direkt aus den Navier-Stokes Gleichungen hergeleitet werden können. Um die Dynamik gemittelter turbulenter Beobachtungsgrößen rigoros zu beschreiben, strebt die statistische Hydromechanik danach, Evolutionsgleichungen für dazugehörende Wahrscheinlichkeitsdichten anzugeben. Dies führt auf die Lundgren-Monin-Novikov (LMN) Hierarchie, eine Familie linearer Transportgleichungen in der Form kinetischer Fokker-Planck Gleichungen. Um die LMN Hierarchie besser zu verstehen, entwickeln wir zwei wechselseitig verbundene Ansätze. Im ersten Ansatz werden zunächst statistische Symmetrien ausgenutzt, um weniger komplexe Hierarchien herzuleiten. Die resultierenden statistischen Erhaltungsgleichungen werden dann über endlich-dimensionalen Ansatzräumen approximiert. Konkret wird die LMN Hierarchie für isotrope Turbulenz reduziert und über einen Produkt/Summen Ansatz auf ein endlich-dimensionales nichtlineares Eigenwertproblem projiziert, bei dem wir anomale Skalierung erwarten. Für verschwindende Viskosität führt eine singuläre Asymptotik vermutlich auf die Dissipation als Invariante. Ein entsprechender Ansatz für das log-Gesetz von Scherströmungen führt auf ein analoges nichtlineares Eigenwertproblem, wobei die Von Kármán Konstante als Eigenwert auftritt. Der zweite Ansatz zielt auf eine hybride, numerische Approximationsmethode. Er beruht auf dem Abbruch der LMN Hierarchie für Ein-Punkt Korrelationen, was auf eine immer noch ungeschlossene statistische Erhaltungsgleichung für die Wahrscheinlichkeitsdichte führt. Eine strukturwahrende Methode, die Nichtnegativität und Normalisierung auf der diskreten Ebene garantiert, wird entwickelt. In der gesamten hybriden Methode wird der ungeschlossene Transportterm durch Anwendung von UQ Techniken auf die zugrundeliegenden stochastischen Evolutionsgleichungen bestimmt. Die finale Methode wird für skalare, viskose Erhaltungssätze angewendet und dann auf die mit dem ersten Ansatz für isotrope Turbulenz bestimmte LMN Hierarchie übertragen. Um die Komplexität des Schließtermes zu verringern, werden auf hyperbolischen Relaxationssystemen beruhende LMN Hierarchien bestimmt. Die neuen Methoden für die LMN Hierarchie werden an Beispielen mit analytischem Schließterm validiert und dann gemeinsam genutzt, um ausgesuchte Aspekte der Skalierungsgesetze in Regimen hoher Reynoldszahlen zu untersuchen.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
