Affine und Lévy-getriebene Modelle für die Mikrostruktur von Finanzmärkten

• Antragsteller: Professor Dr. Martin Keller-Ressel
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 348146459

• Erstellungsjahr: 2020

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Modelle auf der Basis von affinen stochastischen Prozessen und Lévy-Prozessen sind mittlerweile zu einem unverzichtbaren Teil der mathematischen Modellierung von Finanzmärkten geworden. Zum überwiegenden Teil werden diese Modelle verwendet um die Dynamik von Finanzmarkten auf einer ‘makroskopischen’ Skala - im Bereich von Stunden bis zu einigen Jahren - abzubilden. Eine wichtige Fragestellung der Finanzmathematik ist es diese makroskopische Skala mit weitaus kleineren ‘mikroskopischen’ Zeitskalen - von Mikrosekunden bis zu einigen Minuten - in Verbindung zu bringen. Auf diesen mikroskopischen Skalen müssen einzelne Handelsereignisse (Kauf-/Verkaufsauftrage) mittels Sprungprozessen modelliert werden, welche gewöhnlich einen hohen Grad an inneren Abhängigkeiten (‘long-memory’) aufweisen. In unserem Projekt ist es uns gelungen, Mikrostruktur-Modelle mit selbstanregenden Eigenschaften wie etwa Hawkes-Prozesse mit Exponential- oder Power-Law-Kern in den einheitlichen mathematischen Rahmen der ‘Affinen Order-Flow-Modelle’ einzubetten. Darüber hinaus konnten wir diese mikroskopischen Modelle über Grenzwertbildung mit makroskopischen Modellen wie dem sogenannten ‘rough Heston-Modell’ - und allgemeiner den von uns entwickelten ‘Affine Forward-Variance Modellen’ - in Verbindung bringen. Eine große methodische Herausforderung ist dabei, dass die entstehenden Modelle keine Markow-Eigenschaft mehr aufweisen, d.h. dass sich ihre zukünftige Entwicklung nicht alleine auf den gegenwärtigen Zustand reduzieren lässt, sondern auch die gesamte zurückliegende Entwicklung der betreffenden stochastischen Prozesse berücksichtigt werden muss. Ein weiterer Ansatz, um die inneren Abhängigkeiten von hoch aufgelüosten Finanzzeitreihen abzubilden, ist es die Wartezeiten zwischen Handelsereignissen mit Potenzgesetzen (‘power-laws’) zu modellieren. Auch hier entstehen im Grenzübergang zu höheren Zeitskalen makroskopische Modelle mit neuartigen Eigenschaften, für welche wir innovative numerische Methoden basierend auf Dichteapproximationen entwickeln konnten. Schließlich gelang es uns in unserem Projekt auch noch einen Beitrag zur Vergleichbarkeit von herkömmlichen Finanzmarktmodellen mit Markow-Eigenschaft (Heston-Modell) und den im gegenwärtigen Paradigmenwechsel neu entstehenden Modellen ohne diese Eigenschaft (rough Heston-Modell) zu leisten.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Affine forward variance models. Finance and Stochastics, 23/3, 501-533 (2019)
  J. Gatheral and M. Keller-Ressel
  
• Semi-Static Variance-Optimal Hedging in Stochastic Volatility Models with Fourier Representation. Journal of Applied Probability 56/3, 787-809 (2019)
  P. Di Tella, M. Haubold, M. Keller-Ressel
  
• A comparison principle between rough and non-rough Heston models – with applications to the volatility surface. Quantitative Finance, 20/6, 919-933 (2020)
  M. Keller-Ressel and A. Majid
  
• Semi-Static and Sparse Variance-Optimal Hedging. Mathematical Finance, 30/2, 403-425 (2020)
  P. Di Tella, M. Haubold, M. Keller-Ressel