Kontrolltheoretische Anwendungen und Approximationen höherer Ordnung von stark gekoppelten Stochastischen Vorwärts-Rückwärts-Differentialgleichungen

• Antragsteller: Professor Dr. Stefan Ankirchner
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 299077261

• Erstellungsjahr: 2022

Zusammenfassung der Projektergebnisse

In dem Projekt wurden stochastische Vorwärts-Rückwärts-Differentialgleichungen (FBSDEs) verwendet, um verschiedene Klassen von stochastischen Kontroll-Problemen zu lösen. Ein besonderer Fokus lag hierbei auf sogenannten Zielproblemen, bei denen ein Prozess so gesteuert werden soll, dass ein gegebenes Kostenfunktional minimiert wird. Mit Hilfe des stochastischen Maximumsprinzips kann die Lösung des Zielproblems mit Hilfe einer Vorwärts-Ruckwärts-Differentialgleichung charakterisiert werden. In dem Projekt wurden die Bedingungen so allgemein gehalten, dass die Vorwärts-Rückwärts-Differentialgleichung stark gekoppelt ist. Mit Hilfe der Methode der Entkopplungsfelder wurden Bedingungen für die Lösbarkeit der Differentialgleichung gefunden. In einem zweiten Projektteil wurde ein Algorithmus zur numerischen Approximation von Lösungen stark gekoppelter Vorwärts-Rückwärts-Differentialgleichung entwickelt. Der Algorithmus minimiert in einem geeigneten endlichdimensionalen Prozessraum ein Fehlerfunktional, welches misst, wie gut ein Prozess-Tripel über ein vorgegebenes Zeitintervall eine Vorwärts-Rückwärts-Differentialgleichung löst. Durch Rückwärtsiteration entlang Zeitintervalle lässt sich somit eine Approximation der Lösung der Vorwärts-Rückwärts-Differentialgleichung bestimmen. Es wurden allgemeine Bedingungen gefunden für die Konvergenz der Approximationen gegen die exakte Lösung, wenn die Länge der Zeitintervalle gegen Null konvergiert.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Optimal control of diffusion coefficients via decoupling fields. SIAM J. Control Optim., 56(4):2959–2976, 2018
  Stefan Ankirchner and Alexander Fromm
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1137/17M1152401)
• Solving fully coupled FBSDEs by minimizing a directly calculable error functional
  Stefan Ankirchner and Alexander Fromm
  
• Evaluation of equity-based debt obligations
  Alexander Fromm
  (Siehe online unter https://doi.org/10.48550/arXiv.1901.02254)
• Optimal position targeting via decoupling fields. Ann. Appl. Probab., 30(2):644–672, 2020
  Stefan Ankirchner, Alexander Fromm, Thomas Kruse, and Alexandre Popier
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1214/19-AAP1511)
• The Skorokhod embedding problem for inhomogeneous diffusions. Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat., 56(3):1606–1640, 2020
  Stefan Ankirchner, Stefan Engelhardt, Alexander Fromm, and Gonçalo dos Reis
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1214/19-AIHP1012)
• A transformation method to study the solvability of fully coupled FBSDEs. Stochastics, 94(1):1–25, 2022
  Stefan Ankirchner, Alexander Fromm, and Julian Wendt
  (Siehe online unter https://doi.org/10.1080/17442508.2021.1903466)