Lösungen und Stabilität der semiklassischen Einsteingleichung - Ein Phasenraum-Ansatz
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In der Kosmologie spielt die Beschaffenheit der Materie eine entscheidende Rolle. Im Standardmodell der Kosmologie wird zwischen Strahlung, Staub und dunkler Energie unterschieden. Dieses sind jedoch nur empirische Ansätze. Eine Kosmologie, die auf quantisierter, relativistischer Materie beruht, wäre aus konzeptioneller Sicht sehr wünschenswert. Will man dieses Ziel erreichen, stößt man auf das Problem. Dass eine direkte Kopplung der allgemeinen Relativitätstheorie von Einstein und der relativistischen Theorie quantisierter Materie - der Quantenfeldtheorie (QFT) - große konzeptionelle Probleme aufwirft: Während Einsteins Theorie der Gravitation die Raumzeit durch dynamische Gleichungen hervorbringt, setzt QFT eine klassische Raumzeit voraus. Werden allgemeine Relativität und die QFT gekoppelt, so vererbt entweder die QFT ihr quantenmechanische Natur an die Raumzeit – dann fehlt jedoch die klassische Raumzeit, um die QFT selbst zu beschreiben – oder die Raumzeit bleibt nicht quantisiert, doch dann bleibt ihre Kopplung an quantenmechanische Materie unklar. In dieser Situation wählt der Ansatz der semiklassischen Einsteingleichung einen pragmatischen Kompromiss, indem die klassische, allgemeine Relativitätstheorie an den quantenmechanischen Erwartungswert der quantisierten Feldtheorie gekoppelt wird. Diese Kopplung unterliegt jedoch Singularitäten, die mit Hilfe der Renormierung behoben werden können. Man beachte jedoch, dass diese Renormierung nicht dem einsteinschen Postulat der Koordinaten-Unabhängigkeit widersprechen darf. In der Theorie der semiklassischen Einsteingleichung wird diese Schwierigkeit mit einer Renormierung mit sogenannten Hadarmard-Parametrizen begegnet, die ein allgemein kovariantes Renormierungsschema ermöglicht. Allerdings führt dies - außer in Spezialfällen - zu Differentialgleichungen höherer Ordnung in der Metrik der zugrundeliegenden Raumzeit. Im hier berichteten Projekt wurden die daraus einstehenden Differentialgleichungen in einem kosmologischen Szenario untersucht: Hier kann die Raumzeit durch einen globalen Ausdehnungsfaktor beschrieben werden. Trotzdem fehlte bis dato eine allgemeine Theorie der Existenz und der Eindeutigkeit von Lösungen dieses dynamischen Systems. Im vorliegenden Projekt wurde eine mathematische Theorie für das genannte Problem für kosmologische Raumzeiten entwickelt. Die wesentliche Schwierigkeit für eine solche Theorie liegt in der Renormierung, die stets höhere Ableitungen des Ausdehnungsfaktors hervorbringt, so dass es schwierig ist, ein geschlossenes, dynamisches System endlicher Ordnung zu finden. Dies ist jedoch, durch eine Transformation der dynamischen Variablen der Theorie im vorliegenden Projekt gelungen. Die resultierende Theorie erlaubt Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen für die semiklassische Einsteingleichung im kosmologischen Kontext und identifiziert einen geeigneten, unendlich dimensionalen Phasenraum. Dies ermöglicht erstmals in der Geschichte der semiklassischen Einsteingleichung - seit über 60 Jahren - eine nicht triviale und allgemeine mathematische Theorie für das oben genannte Problem.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- The Cosmological Semiclassical Einstein Equation as an Infinite-Dimensional Dynamical System, 2018 (33p)
H. Gottschalk, D. Siemssen
