Kinetic Models on Networks with Applications Traffic Flow and Supply Chains
Final Report Abstract
Kinetische Gleichungen dienen als detaillierte Beschreibung verschiedener physikalischer Prozesse. Die Anwendungsgebite sind sehr vielfältig und reichen von klassischer Gastheorie bis hin zu Verkehrsmodellen. Auf der Modellierungsebene lassen sich viele neue interessante Phänomene in kinetische Modelle integrieren. So spielen zum Beispiel nichtlokale Effekte, Gleichungsbeschränkungen durch Restriktionen oder Steuerungsaspekte in der Theorie sowie in der Anwendung eine große Rolle. Im konkreten Fall wurde diese Aspekte in Verkehrsmodelle und Produktionslinien integriert, denen eine Netzwerkstruktur in Form eines gerichteten Graphen zugrunde liegt. Diese Systeme wurden anschließend mit Hilfe von aggregierten Modellen, den sogenannten makroskopische Gleichungen qualitativ analysiert. Die Modelle sind aus kinetischen Gleichungen durch Einführung gemittelter Größen hergeleitet worden. Resultierend erhält man gekoppelte Systeme partieller Differentialgleichungen eines niedrigdimensionaleren Phasenraumes, die mit weiteren analytischen und numerischen Methoden untersucht werden können. Aus Sicht der Numerik sind diese Modelle effizient lösbar und beschreiben die in den realistischen Systemen beobachteten Phänomene. Des weiteren hat sich herausgestellt, dass makroskopische Modelle genutzt werden können, um Modelle hinsichtlich Optimierungsfragestellungen zu erweitern. Für deren numerische Simulation eignet sich in vielen Fällen eine Formulierung als Mixed-Integer Problem, in deren Kontext sich weitere Aspekte wie zum Beispiel diskrete Entscheidungen abbilden lassen. Ausgehend von kinetischen Gleichungen für Verkehrs- und Produktionsnetzwerke konnten während der Laufzeit Resultate zu allen obigen Bereichen erzielt werden.
Publications
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