Reelle, kombinatorische und tropische Aspekte des nicht-primitiven kombinatorischen Patchworks

• Antragsteller: Aloïs Demory
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 554526864

Die Topologie der reellen algebraischen Varietäten ist die Untersuchung der Formen, die durch die Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten gebildet werden. Seit den grundlegenden Arbeiten von A. Harnack und D. Hilbert in der zweiten Hälfte des XIX. Jahrhunderts über reelle algebraische ebene Kurven ist die Forschung auf diesem Gebiet in zwei komplementäre Richtungen aufgeteilt: die Suche nach Beschränkungen für die Topologie reeller algebraischer Varietäten, die durch Polynome eines bestimmten Grades definiert sind, und die Konstruktion reeller algebraischer Varietäten mit interessanten topologischen Eigenschaften. Kombinatorisches Patchworking ist eine leistungsfähige Methode, die von O. Viro in den 1980er Jahren eingeführt wurde, um reelle algebraische Hyperflächen mit vorgeschriebenen topologischen Eigenschaften zu konstruieren. Es erwies sich als Brücke zwischen der reellen oder komplexen algebraischen Geometrie und der tropischen Geometrie, einem Gebiet, das sich mit kombinatorischen stückweise linearen Objekten beschäftigt. Die Verbindungen zwischen reellen und tropischen Objekten wurden im Fall des primitiven Patchworkings, einem Spezialfall des kombinatorischen Patchworkings, das mit den so genannten nicht-singulären tropischen Hyperflächen verbunden ist, eingehend untersucht. Diese Entwicklungen haben zu bemerkenswerten Ergebnissen hinsichtlich der Topologie der reellen algebraischen Hyperflächen geführt, die mit primitivem Patchworking konstruiert werden können. Für das nicht-primitive kombinatorische Patchworking ist jedoch viel weniger getan worden. Es ist schwieriger zu verstehen als primitives Patchworking, bietet aber auch mehr Möglichkeiten. Die wichtigste Errungenschaft meiner Doktorarbeit ist die Konstruktion maximaler drei- und vierdimensionaler reeller algebraischer Hyperflächen durch nicht-primitives Patchworking, die mit primitivem Patchworking nicht erreicht werden können. Das vorgeschlagene Forschungsprojekt zielt darauf ab, die topologischen Eigenschaften der reellen algebraischen Varietäten zu untersuchen, die mit nicht-primitivem Patchworking erhalten werden können. Dazu sollen weiterhin interessante Beispiele von Varietäten konstruiert werden, während gleichzeitig versucht wird, die Grenzen der Konstruktionsmethode zu verstehen. Um dies zu erreichen, plane ich, nach kombinatorischen Beschränkungen zu suchen und die Werkzeuge, die für nicht-singuläre tropische Hyperflächen entwickelt wurden, an eine breitere Palette von Objekten anzupassen.

• DFG-Verfahren: WBP Stelle