Die quadratische Chabauty-Methode für affine hyperbolische Kurven

• Antragsteller: Dr. Marius Leonhardt
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 552795810

Die grundlegende Fragestellung der Zahlentheorie ist das Finden der ganzzahligen Lösungen von Polynomgleichungen. Faltings hat 1983 gezeigt, dass Gleichungen, die geometrisch eine Kurve beschreiben, nur endlich viele Lösungen haben. Die Bestimmung dieser endlich vielen Lösungen ist aber weiterhin ein offenes Problem. Ein vielversprechender Ansatz zur Lösung dieses Problems ist die Chabauty-Kim-Methode, die die Grundlage meiner Forschungsarbeit bildet. Mein Forschungsvorhaben hat zwei Ziele: 1. Ich möchte die Lösungen von Gleichungen sog. affiner Kurven mit Hilfe der quadratischen Chabauty-Methode berechnen. Mit M. Lüdtke und J.S. Müller habe ich gezeigt, dass diese Methode theoretisch eine Kandidatenliste für die Lösungen berechnen kann, und wir können zu einer gegebenen Gleichung bestimmen, wie lang diese Kandidatenliste höchstens ist. Mit der Unterstützung von Jennifer Balakrishnan, einer Expertin im Gebiet der algorithmischen Zahlentheorie, werde ich dieses Ergebnis zu einem Algorithmus erweitern, der die Kandidatenliste und damit die Lösungen der Gleichung berechnet. Wir werden dabei Techniken der quadratischen Chabauty-Methode projektiver Kurven verwenden, die von Prof. Balakrishnan entwickelt wurde. Anschließend werde ich für konkrete Kurven die Lösungen berechnen, insbesondere für Modulkurven, da ihre Lösungen in anderen Teilen der Arithmetischen Geometrie von Interesse sind. 2. Ich möchte eine obere Schranke an die Anzahl der Lösungen sog. CM Kurven bestimmen. Mit L.A. Betts und D. Corwin habe ich eine solche Schranke für beliebige Kurven unter Annahme der Bloch-Kato-Vermutungen gefunden. Dieses Projekt wird ohne die Annahme der Bloch-Kato-Vermutungen auskommen, indem ich die zusätzlichen Symmetrien (auf den kohomologischen Invarianten) der CM Kurven ausnutze. Das wäre die erste Familie von Beispielen, für die die Chabauty-Kim-Methode explizite Schranken an die Lösungen liefert. Das Verständnis dieser Beispiele wird tiefe Einblicke in den Mechanismus der Methode gewähren, den ich dann durch gezieltes Drehen gewisser Stellschrauben auch für andere Kurven verbessern werde.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: USA
• Gastgeberin: Professorin Dr. Jennifer S. Balakrishnan