Deformationen, Stabilität und Rigidität in höherer Lie-Theorie

• Antragsteller: Dr. Karandeep Jandu Singh
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 549348984

Differentialgeometrie ist das Studium glatter Räume, sogenannter Mannigfaltigkeiten. Beispiele solcher Mannigfaltigkeiten sind unter anderem die Ebene, der uns umgebende 3-dimensionale Raum, ein Kreis und die Oberfläche einer Kugel. Der Begriff von Glattheit ist dabei nicht stabil unter natürlichen Operationen ebendieser Räume: so erhält zum Beispiel das Verkleben von Räumen, welches beim Vorliegen von Symmetrien notwendig wird, nicht die Glattheit dieser Räume. Um dies zu beheben existieren verschiedene Ansätze, zu denen die Sprache der Lie-Algebroiden und Lie-Gruppoiden gehört. Anstelle des sich so ergebenden zusammengeklebten Raumes betrachtet man Lie-Gruppoide, welche zwischen den unterschiedlichen Räumen und der Art wie diese zusammengeklebt wurden differenzieren. Lie-Algebroiden sind lineare Approximationen von Lie-Gruppoiden. Insbesondere kann die Art der Verklebung über Lie-Algebroide zurückgewonnen werden. Dies bedeutet, dass Konstruktionen auf Lie-Gruppoiden und Lie-Algebroiden die Konstruktionen der verklebten Räume kodieren. In diesem Forschungsprojekt untersuchen wir die Deformationstheorie von Lie-Algebroiden und dessen Verallgemeinerungen. Wir zielen darauf ab ein besseres Verständnis des unendlich-dimensionalen und hoch-singulären Raums der Lie-Algebroiden zu erlangen, indem wir untersuchen, welche Eigenschaften unter kleinsten Deformationen erhalten bleiben. Wir werden dabei sowohl explizite Fragestellungen als auch die allgemeine Theorie untersuchen. Zu diesen expliziten Fragestellungen gehört das Problem, ob bestimmte algebraische bzw. dynamische Eigenschaften unter kleinen Deformationen erhalten bleiben, sowie die Konstruktion einer algebraischen Struktur, welcher der Deformationstheorie von Doppel-Lie-Algebroiden unterliegt. Für die allgemeine Theorie werden wir diese konkreten Fragestellungen in einem abstrakteren Kontext stellen und die zugrunde liegenden algebraischen Strukturen der Deformationstheorie dieser Objekte nutzen um zu untersuchen, ob hinreichende Bedingungen in der Sprache der allgemeinen algebraischen Struktur ermittelt werden können

• DFG-Verfahren: WBP Stelle