Homogenisierung von Diffusionen mit Schnittstellen

• Antragstellerin: Dr. Olga Aryasova, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 548113512

In vielen Bereichen der Naturwissenschaften stößt man auf Materialien, die aus einem homogenen Material bestehen, das mit sehr dünnen Schichten unterschiedlicher Zusammensetzungen oder Eigenschaften durchzogen ist. Diese können Verbundwerkstoffe wie Glaswolle mit Aluminiumfolie oder biologische Kompartimente, die von dünnen Membranen umschlossen sind, sein. Die dünnen Schichten, auch Barrieren, Membranen oder Schnittstellen genannt, können die physikalischen Eigenschaften des Materials erheblich verändern. Mathematisch betrachtet lassen sich die Eigenschaften solcher Materialien mithilfe elliptischer oder parabolischer partieller Differentialgleichungen mit bestimmten Randbedingungen an den Schnittstellen beschreiben. Alternativ kann man den stochastischen Ansatz verfolgen und stochastische Differentialgleichungen mit Lokalzeiten untersuchen, die das singuläre Verhalten der Diffusion an der Schnittstelle beschreiben. Das in diesem Projekt behandelte Homogenisierungsproblem konzentriert sich auf die Analyse makroskopischer Grenzwerte solcher Diffusionen, wenn die Anzahl der Schnittstellen zunimmt und die Abstände zwischen ihnen abnehmen. Zunächst werden wir einen einheitlichen Ansatz zur stochastischen Dynamik über halbdurchlässige Schnittstellen entwickeln. Unser Ziel ist es, einen allgemeinen Grenzwertsatz für mehrdimensionale Diffusionen mit Schnittstellen unter relativ schwachen Regularitätsbedingungen für die Koeffizienten zu etablieren. Dieser Satz wird eine breite Palette von Verhaltensweisen der Schnittstellen umfassen, wie zum Beispiel Gleiten entlang der Schnittstelle oder sich dort verlangsamen. Insbesondere wird es von größter Bedeutung sein, Fragen zur Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen mehrdimensionaler stochastischer Differentialgleichungen mit Lokalzeiten zu behandeln. Darüber hinaus betrachten wir die Homogenisierung entlang einer Familie von gekrümmten Schnittstellen, die zu einer Foliation des Zustandsraums der Diffusion gehören. Diese Schnittstellen können verschiedene Formen annehmen, wie z.B. kugelförmige oder zylindrische Schnittstellen. Darüber hinaus wird unsere Analyse die Untersuchung von Medien umfassen, die zufällig gestörte oder fehlende Schnittstellen aufweisen, sowie periodische Medien mit halbdurchlässigen Schnittstellen. Die Ergebnisse dieser Forschung werden mithilfe von Methoden der stochastischen Analysis erzielt, die insbesondere die Theorie der singulären Diffusionen mit Lokalzeiten umfasst. Wir erwarten, dass die Ergebnisse dieser Forschung auf verschiedene physikalische (insbesondere geophysikalische) und biologische Modelle angewendet werden können.

• DFG-Verfahren: WBP Stelle