Globalstruktur unendlicher Graphen unter Einbeziehung ihrer Enden

• Antragsteller: Professor Dr. Reinhard Diestel
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2005 bis 2009
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 5454748

Der Zyklenraum unendlicher Graphen wird traditionell definiert wie bei endlichen Graphen: man fasst den Graphen als 1-Komplex auf und betrachtet seine erste Homologiegruppe, im Sinne der simplizialen Homologie. Dieser kombinatorische Zyklenraum leistet für unendliche Graphen jedoch nicht den von endlichen Graphen her erwarteten Beitrag zu ihrem strukturellen Verständnis: wichtige klassische Aussagen über das Zusammenspiel zwischen Zyklenraum und kombinatorischer Struktur des Graphen - etwa die Sätze von Whitney, MacLane oder Tutte über Plättbarkeit und Dualität - schlagen im Unendlichen fehl. Diesen Mangel gelang es uns durch eine grundlegende Neuorientierung zu beheben: versteht man die Homologie eines unendlichen Graphen nicht kombinatorisch (simplizial), sondern topologisch (singulär) in der Freudenthal-Kompaktifizierung durch seine Enden, so werden all jene klassischen endlichen Sätze ins Unendliche übertragbar. Die so motivierte Einbeziehung des topologischen Endenraums eines Graphen in die Beschreibung seiner globalen Struktur schlägt nun weitere Kreise. Ein kürzlich eingeführter Gradbegriff für Enden etwa ermöglicht erstmals die Betrachtung global-lokaler Implikationen wie in der klassischen extremalen endlichen Graphentheorie. Solche Möglichkeiten auszuloten ist Ziel des Projekts; sie könnten wesentliche Teile der unendlichen Graphentheorie auf eine neue Grundlage stellen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen