Anwendungen und Entwicklung neuer Monte Carlo Methoden bei freien Randwertproblemen und Quasi-Variationsungleichungen in der Finanzmathematik
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Viele Probleme der Finanzmathematik, bei denen Entscheidungen über den optimalen Zeitpunkt einer Transaktion getroffen werden müssen (z.B. Bewertung Amerikanischer Optionen, optimale Portfolios bei Transaktionskosten) müssen, führen analytisch auf sehr schwierige, kaum lösbare Probleme. Eine Alternative zur analytischen Lösung stellt die Monte Carlo-Lösung jeweils zugehöriger Systeme reflektierter Vorwärts-Rückwärts stochastischer Differentialgleichungen (VRSDG) dar. Die Untersuchung ihrer algorithmischen Behandlung und die Lösung zugehöriger Probleme aus der Finanzmathematik waren die Hauptziele des Projekts. Es wurde eine Vielzahl von theoretischen Eigenschaften von Systemen von reflektierten, gekoppelten VRSDG gefunden, wobei speziell ein allgemeines Resultat gezeigt werden konnte, das besagt, dass man zu Vorwärts-Rückwärtsgleichungen unter bestimmten Bedingungen ein entsprechendes System von Vorwärts-Vorwärtsgleichungen (VVSDG) finden kann, mit dessen Hilfe das ursprüngliche System approximiert werden kann. Dieses System bietet einen direkten Ansatz zur numerischen Behandlung der Systeme von reflektierten VRSDG durch Lösen eines Minimierungsproblem zu den zugehörigen VVSDG. In der Literatur gab es zu deren Lösung bisher lediglich Verfahren, die entweder gar nicht oder nur mit hohem Aufwand praktisch umsetzbar sind, da immer bedingte Erwartungswerte zu simulieren sind. Wir entwickelten vier neue Lösungsverfahren, bei denen das Minimierungsproblem direkt behandelt wurde. Dabei werden im Quasi-Newton-Verfahren und im nichtlinearen Konjugierte-Gradienten-Verfahren das Minimum mittels Gradientenberechnung gesucht. Als Alternative wurden gradientenlosen Verfahren wie das Downhill-Simplex-Verfahren oder die Powell-Direction-Set-Methode betrachtet. Die Verfahren sind relativ einfach zu implementieren und auch auf mehrdimensionale Probleme anwendbar. Ein Spezialfall der VRSDG, in dem nur die Rückwärtsgleichung von der Vorwärtsgleichung abhängt, wurde bei der Bewertung Amerikanischer Optionen angewendet. Die Verfahren zur Lösung dieser einseitig gekoppelten reflektierten VRSDG simulieren zunächst die Vorwärtsgleichung und dann mithilfe bedingter Erwartungswerte die Rückwärtsgleichung. Zur Simulation der bedingten Erwartungswerte wird der Malliavin-Kalkül verwendet. Um stabile Simulationsergebnisse zu erhalten, wurden außerdem verschiedene Maßnahmen zur Varianzreduktion eingesetzt und ihre Wirksamkeit durch zahlreiche Beispiele illustriert. Der ursprüngliche Plan, auch noch Quasi-Variationsungleichungen und damit Portfolio-Optimierungsprobleme mit Transaktionskosten zu behandeln, erwies sich aufgrund des Umfangs der zu leistenden theoretischen Vorarbeiten für die oben beschriebenen Probleme als zu umfangreich.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- „Neue Methoden zur Lösung von Vorwärts-Rückwärts-Stochastischen Differentialgelichungen“. Doktorarbeit, Fachbereich Mathematik, TU Kaiserslautern, 2009
Stefan Lorenz
