Kopplung von numerisch diskreten und neuronalen Elementen am Beispiel von Potentialströmungen
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Im Wasserwesen werden zunehmend neuronale Netze (NN) als "stand-alone" Systeme eingesetzt. Die Hauptanwendungsgebiete sind dabei die neuronale Abschätzung und Vorhersage hydrologischer Zusammenhänge auf Basis von Mess- und Beobachtungswerten. Die Anwendungen neuronaler Netze in Verbindung mit numerischen Verfahren wurden erstmalig vor 10 Jahren erwähnt, aber keine Grundlagen behandelt. Dies erfolgte in diesem Forschungsprojekt, in dem Machbarkeit und Effizienz der neuronal-numerische Repräsentanz einzelner Finiter Elemente auf Dreieckbasis mit unterschiedlicher Ordnung von Ansatzfunktionen untersucht wurde. Dabei wurde klar, dass Rechenzeitvorteile nur erzielbar werden, wenn statt einzelner Elemente ganze Substrukturen eines Systems neuronal abgebildet werden können. Untersuchungen zu dieser Fragestellung waren Gegenstand dieses Forschungsvorhabens. Vergleichbare Untersuchungen an anderer Stelle sind dem Antragsteller nicht bekannt. Ausgangspunkt der Untersuchungen war ein numerisch diskret repräsentiertes Gesamtsystem, das in Teilsysteme untergliedert wird. Einige der Teilsysteme sollten nun neuronal und andere numerisch diskret modelliert werden; anschließend sollten sie entlang ihrer Trennungsränder wieder kompatibel zu einem Gesamtsystem zusammengefügt werden. Die Lösung des numerisch diskrete abgebildeten Gesamtsystems stellte dabei die Datenbasis und Referenzlösung dar zur Beurteilung von Genauigkeit und Effizienz. Die Untersuchungen wurden durchgeführt für stationäre Potentialströmungen (Randwertproblem). Als numerisch diskretes Verfahren wurde die Methode der Finiten Elemente (FE) mit Dreiecknetzen und linearen Ansatzfunktionen für die primäre Zustandsgröße (Potential) verwendet. Beispielrechnungen wurden durchgeführt für den Fall einer Grundwasserströmung an einer Baugrube. Offene Frage bei Beginn des Vorhabens war, welche Informationen die neuronalen Netze mitführen müssen und wie die Teilsysteme gekoppelt werden können. Es wurden drei Untersuchungsbereiche definiert: (1.) Training, Simulation und Kopplung über Druckhöhen (2.) Training, Simulation und Kopplung über Flüsse und (3.) Training, Simulation undKopplung der kondensierten Systemmatrix eines neuronal abzubildenden FE-Teilsystems. Im Ergebnis können folgende Erkenntnisse festgehalten werden: Die Kopplung zwischen neuronal und FE repräsentierten Teilsystemen erfolgt über Koppelknoten, deren Lage im FE-System definiert ist. Für die Knotenpatches der Koppelknoten sind neuronale Netze zu bilden. Eingangswerte für diese Netze sind die Zustandsgrößen, entweder Potentiale oder Flüsse, der Knoten eines Patches, die im FE-repräsentlerten Teilgebiet liegen; Ausgangswerte sind die Zustandsgrößen an den Koppelknoten selbst oder in Elementen, die dem. neuronal repräsentierten Teilgebiet angehören. Bei der Konstruktion dieser Patches ist stets zu beachten, dass mehr Eingangsneuronen als Ausgangsneuronen für das neuronale Netz erzeugt werden. Entsprechend wurden jeweils 2 Anordnungen untersucht, bei denen einmal so viele Netze gebildet wurden wie Koppelknoten gegeben sind, zu anderen ein Netz trainiert wurde, das alle Koppelknoten beinhaltet. Für den dritten Untersuchungsfall - neuronale Repräsentation einer kondensierten Sytemmatrix - wurden alle Koeffizienten der kondensierten Matrix als Ausgabeneuronen definiert; Eingabewerte waren alle Potentiale und Flüsse aus den im FE-Teilgebiet gelegenen Patchknoten und Elementen die den Patches der Koppelknoten angehören. Zum Training wurden generell drei-schichtige Feedforward Netzarchitekturen mit und ohne Backpropagation eingesetzt. Die Aktivierungsfunktionen zwischen der Eingabe- und versteckten Schicht waren sigmoid, die zwischen der versteckten Schicht und der Ausgabeschicht linear. Die Lernart Ist übenwacht. Zur Anpassung der Gewichte nach jeder Trainingsepoche wird der Levenberg-Marquardt-Algorithmus eingesetzt. Backpropagation wurde nur in Ausnahmefällen verwendet. Genauigkeit und Effizienz wurden beurteilt für Testrechnungen mit einem FE-Gesamtsys-tern mit 3110 Dreiecken. Zum Training wurden 50 verschiedene Lastfallkombinationen als Eingabepattern definiert. Trainingsabbruch erfolgte, bei einem mittleren quadratischen Fehler (MSE) von 10-7 oder nach 500 Trainingsepochen. Zur Beurteilung der Genauigkeit wurde die Korrelation zwischen Trainings- und Testwerten herangezogen. Sie lag in allen Fällen bei etwa 0.99, allerdings mußte.für den Fall der neuronalen Repräsentation einer kondensierten Systemmatrix das Teilgebiet verkleinert werden. Voraussetzung für gute Effizienz ist eine Softwarelösung, die dem "hybriden" Ansatz Rechnung trägt. Diese wurde mit dem System FEANSub (Finite Elements And Neural Substructures) erstellt und zu Analysen der Rechengeschwindigkeiten im Vergleich zu dem FE-Gesamtsystem verwendet Zugrundegelegt wurden 200 Variantenberechnungen (Betriebsfälle auf einer Baustelle, Monitoring). Für diese ergibt sich eine Rechenzeit von mindestens 2 Stunden für ein vollständig FE-repräsentiertes Gesamtsystem. Zur hybriden Simulation wurde das Lösungsgebiet in zwei Teilsysteme unterteilt. Beide Teilsysteme wurden getrennt voneinander betrachtet, eines als FE-System, das andere als neuronal repräsentiertes System. Für die Berechnung von 200 Varianten benötigte das FE-System 28 Minuten. Das neuronale Teilsystem benötigte, je nach Architektur, zwischen 4 und 20 Minuten; allerdings muß hier noch die Zeit von ca. 27 Minuten zur Ermittlung der Trainingswerte hinzugerechnet werden. Im direkten Vergleich zur Berechnung mit dem FE-Gesamtsystem ergaben sich Rechenzeitersparnise von 11% bis 28%. Im Ergebnis kann folglich festgehalten werden: 1.. der "hybnde" Ansatz liefert eine hinreichende praxistaugliche Genauigkeit, 2. der "hybride" Ansatz liefert grundsätzlich Rechenzeitvorteile, 3. der "hybride" Ansatz ist einfach strukturiert und leicht implementierbar - auch in bestehende Softwaresysteme. Mit den verfolgten Ansatz einer "hybriden" gemischten FE-NN Modellierung auf Basis von Subsystemen (Teilgebieten) wurde Neuland betreten, vergleichbare Ansätze sind dem Antragsteller nicht bekannt. Durch Testrechnungen wurde gezeigt, wie eine Kopplung realisiert werden kann und von welcher Topologie und Architektur entsprechende neuronale Netze sein sollten. Erzielte Genauigkeit und Effizienz belegen die Tauglichkeit des Verfahrens für Potentialprobleme und enfl/eitern das Spektrum der Simulationsmethoden. Die durchgeführten Untersuchungen hatten Grundlagencharakter Sie waren beschränkt auf Randwertprobleme. Künftige Arbeiten (Forschungsbedarf) müßten diesen Ansatz erweitern auf andere numerische! Verfahren wie Finite Differenzen (FD) und Finite Volumen (FV). Es ist jedoch davon auszugehen, dass dabei keine grundsätzlich neuen Erkenntnisse gewonnen werden. Die Untersuchungen wurden durchgeführt für unstrukturierte FE-Dreiecknetze, sie führten bei der Darstellung kondensierter Teilsysteme auf sehr große Netze. Zur Vermeidung dieses Nachteiles wäre es denkbar bei regulären Gittern (FD-, FV-Verfahren) die Lösungen im neuronalen Teilgebiet durch z.B. Fourierreihen oder Formfunktionen mit wenigen Parametern abzubilden und deren Parameter zu trainieren. Eine Erweiterung des Ansatzes auf transiente Problemstellungen ist denkbar ebenso wie auf eine Erweiterung auf mehrdimensionale Probleme mit unterschiedlichen Skalen. Anwendungsmöglichkeiten der Ergebnisse mit derzeitigen Stand der Entwicklung sind gegeben bei dem Studium von iterativen Design- und Entwurfsvarianten und beim Monitoring auf Baustellen; beide dieser Anwendungen erfordern schnelle Antwortzeiten.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- WEANN Representation of Discrete Subdomains in FE-Groundwater Modeling, 8th International Conference on Hydro-Science and Engineering, ICHE 2008, Nagoya, Japan, Sept 9-12 2008
WEBER L., HOLZ K.-P.
- ANN-FEM Mixed Simulation in Groundwater Flow, The 8th International Conference on Hydroinformatics, January 12-16, 2009, Concepcion, Chile, ISBN 978-981-08-2099-2
WEBER L., HOLZ K.-P.
- Computational Aspects on Hybnd ANN-FE Grondwater Flow Calculations, in LOPEZ-JIMENEZ, P.A. et al. (eds). Environmental Hydraulics, pp. 83-85, 2009, 2010 Taylor&Francis Group, London, ISBN 9 7 8 - 0 - 4 1 5 - 5 6 6 9 7 - 1 , (Workshop-Proceedings)
WEBER L, HOLZ K.-P
- Computational Aspects on Hybnd ANN-FE Groundwater Flow Calculations, lAHR-lnternational Workshop on Environmental Hydraulics, Oktober 29-30, 2009, Valencia, Spanien, ISBN 978-0-415-56697-1
WEBER L., HOLZ K.-R
- Neuronal-Numerische Approximationen für Potentialströmungen, Dissertationsschrift, Brandenburgische Technische Universität Cottbus, Lehrstuhl Bauinformatik, Juli 2009
WEBER, LARS
