Eine energiebasierte FE-Methode vom ALE-Typ

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Paul Steinmann
• Fachliche Zuordnung: Mechanik
• Förderung: Förderung von 2004 bis 2011
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 5429715

• Erstellungsjahr: 2011

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Das Ziel dieses Forschungsprojektes war die Entwicklung einer r-adaptiven Netzoptimierung, die die Knotenpositionen eines FE-Netzes verändert, um die Genauigkeit der FE-Analyse eines Randwertproblems zu verbessern. Die betrachtete Netzoptimierung basiert auf der Minimierung der potentiellen Energie eines diskretisierten mechanischen Systems und ist daher konzeptionell auf konservative, elastostatische Problem beschränkt. Die Netzoptimierung wird als Optimierungsproblem mit der potentiellen Energie als Zielfunktion und den Knotenpositionen als Optimierungsvariablen formuliert. Ein erstes im Rahmen dieses Projekts erzieltes Ergebnis ist eine auf einer ALE-Kinematik basierende Methode, mit der sich die Ableitungen der potentiellen Energie bzgl. der Knotenpositionen leicht berechnen lassen. Aufgrund der Verfügbarkeit der Ableitungen kommt prinzipiell eine Vielzahl von mathematischen Optimierungsverfahren in Frage, um die Netzoptimierung numerisch zu realisieren. Die Praxis zeigt jedoch, dass das Lösen des Optimierungsproblems, das der Netzoptimierung zugrunde liegt, i.d.R. nicht vollständig möglich ist. Vollständig meint hier, dass ein Netz, bei dem der Gradient der potentiellen Energie bzgl. der Knotenpositionen Verschwindet, nicht gefunden werden kann, sondern die Optimierung wegen ihrer Tendenz, degenerierte Elemente zu erzeugen, abgebrochen werden muss. Um das Problem der Elementdegenerierung zu lösen, wurden im Rahmen dieser Arbeit erstmals Ungleichungsnebenbedingungen entwickelt, mit denen die Degenerierung der Elemente gezielt beschränkt/gesteuert werden kann. Parameterstudien zeigen, dass die Ungleichungsnebenbedingungen aktiv sind, wenn ein optimales Netz gefunden wurde und dies ist selbst dann der Fall, wenn nahezu degenerierte Elemente erlaubt sind. Die Ergebnisse weisen darauf hin, dass ein optimales Netz, für das der Gradient der potentiellen Energie bzgl. der Knotenpositionen vollständig verschwindet, meist nicht existiert. Netzoptimierungsprobleme, die den Ungleichungsnebenbedingungen unterworfen sind, können effektiv gelöst werden. Effektiv meint, dass die Optimierungsprobleme, die der Netzoptimierung zugrunde liegen, zuverlässig gelöst werden können und dass das Verbesserungspotential, das durch die gegebene Anzahl an Freiheitsgraden beschränkt ist, voll ausgeschöpft werden kann. Leider ist die Netzoptimierung mit Ungleichungsnebenbedingungen nicht effizient. Die Lösung des Optimierungsproblems ist aufgrund der hohen Anzahl an variablen Knotenpositionen und des gestaffelten Lösungsalgorithmus aufwendiger als eine globale Netzverfeinerung, mit der eine ähnliche Verbesserung erzielt werden kann. Die im Rahmen der Weiterentwicklung der r-adaptiven Netzoptimierung erzielten Ergebnisse sind Inhalt verschiedener Veröffentlichungen, einer Dissertation sowie mehrerer Konferenzbeiträge und Vorträge. Ein weiteres Ergebnis dieses Projekts ist eine neue Regularisierungstechnik für knotenbasierte Formoptimierungsprobleme, wobei knotenbasiert bedeutet, dass die Knotenkoordinaten eines FE-Netzes direkt als Design- bzw. Optimierungsvariablen gewählt werden. Die Regularisierungstechnik basiert auf einer Ungleichungsnebenbedingung, die es ermöglicht, die Formänderung zu kontrollieren. Die Ungleichungsnebenbedingung für Formoptimierungsprobleme ist eine Weiterentwicklung der Nebenbedingungen der Netzoptimierung. Die Idee, die Ungleichungsnebenbedingungen der Netzoptimierung in der Formoptimierung einzusetzen, entstand aufgrund der der nahen Verwandtschaft der Netzoptimierung mit Formoptimierungsproblemen, in denen die Steifigkeit eines Bauteils durch eine Maximierung der potentiellen Energie erreicht wird. Die neue Regularisierungstechnik hat verschiedene positive Eigenschaften: 1. Die resultierenden Formoptimierungsprobleme können sehr zuverlässig mit gradientenbasierten Verfahren gelöst werden. 2. Die realisierbaren Formänderungen sind sehr groß und die Ränder der optimierten Formen glatt. 3. Die Regularisierung verursacht keine Netzabhängigkeit, d.h. bei Netzverfeinerung kann eine Konvergenz der FE-Lösungen des Formoptimierungsproblems gegen eine Endform beobachtet werden. 4. Die Regularisierung ist, sofern verschiebungsbasierte Elemente verwendet werden, unabhängig vom Elementtyp und damit sowohl auf beliebige Formoptimierungsprobleme anwendbar. 5. Die Regularisierung ist für dickwandige und flächige Strukturen geeignet. 6. Die Anwendbarkeit der Regularisierungstechnik ist nicht auf Formoptimierungsprobleme im Bereich der Strukturmechanik beschränkt. Die im Rahmen der Entwicklung der Regularisierungstechnik für Formoptimierungsprobleme erzielten Ergebnisse sind Inhalt einer Veröffentlichung, einer Dissertation sowie verschiedener Konferenzbeiträge und Vorträge.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• An ALE formulation based on spatial and material settings of continuum mechanics. Part 1: Generic hyperelastic formulation. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 193:4207–4222, 2004
  E. Kuhl, H. Askes, and P. Steinmann
  
• An ALE formulation based on spatial and material settings of continuum mechanics. Part 2: Classification and applications. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 193:4223–4245, 2004
  H. Askes, E. Kuhl, and P. Steinmann
  
• Structural optimization by simultaneous equilibration of spatial and material forces. Commun. Numer. Methods Engng., 21:433–442, 2005
  H. Askes, S. Bargmann, E. Kuhl, and P. Steinmann
  
• An adaptive singular finite element in nonlinear fracture mechanics. Int. J. Frac., 147:181–190, 2007
  R. Denzer, M. Scherer, and P. Steinmann
  
• Energy-based r-adaptivity: a solution strategy and applications to fracture mechanics. Int. J. Frac., 147:117–132, 2007
  M. Scherer, R. Denzer, and P. Steinmann
  
• On a solution strategy for energy-based mesh optimization in finite hyperelastostatics. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 197:609–622, 2008
  M. Scherer, R. Denzer, and P. Steinmann
  
• Secret and joy of configurational mechanics: From foundations in continuum mechanics to applications in computational mechanics. Z. angew. Math. Mech., 89:614–630, 2009
  P. Steinmann, M. Scherer, and R. Denzer
  
• A fictitious energy approach for shape optimization. Int. J. Numer. Meth. Engng, 82:269–302, 2010
  M. Scherer, R. Denzer, and P. Steinmann