AEI-DFG: Abbildungsklassengruppen von oben und von unten

• Antragsteller: Dr. Elia Fioravanti
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 541703614

In der Strukturanalyse unendlicher, endlich erzeugter Gruppen gibt es zwei grundlegend verschiedene Ansätze. Der erste Ansatz besteht darin, eine Gruppe von oben zu betrachten: von einem unendlich weit entfernten Basispunkt sieht sie wie ein kontinuierliches Objekt aus, welches mit Hilfe von Methoden der Topologie und Geometrie studiert werden kann. Dieser Ansatz, dessen Ursprünge auf Gromovs Arbeiten über asymptotische Kegel in den 80ern zurückgehen, ist eine Schlüsselmethode im Studium der quasi-isometrischen Starrheit und anderer grober geometrischer Eigenschaften von Gruppen. Ebenfalls in den späten 80ern, verwendete Rips ähnliche Ideen in seiner Theorie der Gruppenwirkungen auf reellen Bäumen, welche zu Selas Durchbruch im Verständnis der elementaren Theorie, sowie der Struktur der Automorphismen und Homomorphismen freier und hyperbolischer Gruppen führte. Ein alternativer Ansatz ist die Betrachtung von Gruppen von unten, anhand ihrer Schatten in ihren Quotienten, insbesondere den endlichen. Dieser Blickpunkt steckt hinter dem schweren Problem, ob eine gegebene Gruppe durch ihre proendliche Vervollständigung bestimmt ist. Obwohl es seine Ursprünge in Grothendiecks Arbeiten in den 70ern hat, wurden erste Fortschritte erst vor wenigen Jahren erzielt. Wir planen beide Perspektiven zu verwenden, um Abbildungsklassengruppen von Flächen endlichen Typs zu studieren. Sie gehören zu den am meisten studierten Gruppen, da sie eine reiche Struktur haben und in vielen mathematischen Bereichen natürlich auftreten, zum Beispiel in der niedrig-dimensionalen Topologie, der komplexen Geometrie, der Gruppentheorie und der algebraischen Topologie. Dennoch sind viele grundlegende Fragen über sie immer noch offen: Ist ihre elementare Theorie stabil? Sind sie kählersch? Sind sie omnipotent? Unser erstes Ziel ist die Entwicklung einer Ripstheorie für Wirkungen auf höher-dimensionalen reellen Bäumen, sogenannten reellen Kubulierungen. Asymptotische Kegel von Abbildungsklassengruppen (sowie von RAAGs und virtuell speziellen Gruppen) sind reelle Kubulierungen. Hierdurch ist eine solche Theorie ein erster wichtiger Schritt in Richtung der Modelltheorie von Abbildungsklassengruppen. Außerdem planen wir Fortschritte zur Frage zu erzielen, ob Abbildungsklassengruppen kählersch sind, indem wir die Isomorphietypen normaler Untergruppen von Kählergruppen und Abbildungsklassengruppen erforschen. Schließlich planen wir Quotienten von Abbildungsklassengruppen und Kählergruppen zu untersuchen, insbesondere jene vom Burnsidetyp. Hierdurch hoffen wir Einblicke in Fragen zu residuellen Eigenschaften von Abbildungsklassengruppen zu erhalten, insbesondere zur Omnipotenz und zur Existenz hyperbolischer Quotienten. Auf Grund unserer vielfältigen Expertise zu Abbildungsklassengruppen, reellen Kubulierungen, Kählergeometrie, Modelltheorie und kleinen Kürzungen, erwarten wir in allen Bereichen des Projekts konkrete und bedeutende Fortschritte erzielen zu können.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Spanien
• Partnerorganisation: Agencia Estatal de Investigación
• Mitverantwortliche: Professor Dr. Claudio Llosa Isenrich; Professorin Dr. Katrin Tent
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Dr. Javier Aramayona; Dr. Montserrat Casals-Ruiz