AEI–DFG: Strukturerhaltende, echt mehrdimensionale Finite-Volumen-Methoden hoher Ordnung, angewendet auf Gleichgewichtsgesetze mit nicht-konservativen Termen

• Antragsteller: Professor Christian Klingenberg, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 541675783

Das Hauptziel dieses Projekts ist die Entwicklung echter mehrdimensionaler numerischer Schemata vom Typ finites Volumen Verfahren zur Lösung hyperbolischer Systeme, welche in der Lage sind, auf groben Gittern genaue Ergebnisse zu liefern. Mit "echt mehrdimensional" meinen wir die Berücksichtigung mehrdimensionaler Eigenschaften der Strömungen, die sie viel komplexer und schwieriger machen als ihre eindimensionalen Gegenstücke. Ein Beispiel sind Wirbel in kompressiblen Strömungen. Zu diesem Zweck werden zwei verschiedene Strategien verfolgt. Die erste besteht darin, mehrdimensionale Informationen in die numerischen Strömungen durch die approximative Lösung mehrdimensionaler Riemann-Probleme an den Ecken der Berechnungszellen einzubringen. Der zweite Ansatz basiert auf der so genannten Active-Flux-Methode, bei der nicht nur die Zellmittelwerte aktualisiert werden, sondern auch zusätzliche Freiheitsgrade, die aus Punktwerten am Zellrand bestehen. Versionen hoher Ordnung beider Familien von numerischen Verfahren werden analysiert und systematisch verglichen, und zwar für Systeme von Erhaltungsgesetzen und Gleichgewichtsgesetzen mit Quellen- und Kopplungstermen. Um unsere Studie zu vereinheitlichen, werden die Schemata im allgemeineren Rahmen nichtkonservativer hyperbolischer Systeme formuliert. Darüber hinaus wird die Konstruktion von well-balanced Schemata, die in der Lage sind, alle oder einige spezifische Familien von stationären Lösungen exakt zu erhalten, ebenfalls behandelt. Um Schemata zu entwickeln, die in der Lage sind, genaue Ergebnisse in verschiedenen Strömungsregimen zu liefern, werden wir implizite oder semi-implizite Versionen der vorgeschlagenen mehrdimensionalen Methoden untersuchen. Schließlich werden Anwendungen auf einige interessante Systeme betrachtet, wie die Euler-Gleichungen mit Schwerkraft, Gleichungen der idealen Magnetohydrodynamik, Flachwassergleichungen mit Corioliskraft und mehr-lagen Flachwassergleichungen mit Bodentopographie.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Spanien
• Partnerorganisation: Agencia Estatal de Investigación
• Kooperationspartner: Professor Dr. José-María Gallardo-Molina; Professor Dr. Tomás Morales de Luna