Mathematische Grundlagen bei der Behandlung von Kontaktproblemen in der nichtlinearen Elastizitätstheorie
Zusammenfassung der Projektergebnisse
In diesem Projekt wurde zum einen der elastische Kontakt zwischen Körpern im Rahmen der nichtlinearen Theorie untersucht und zum anderen wurde ein neuer Zugang zu den Grundlagen der Kontinuumsmechanik entwickelt. Basierend auf den Resultaten zum Kontakt zwischen elastischem Körper und starrem Hindernis wurde zunächst für den Kontakt zwischen zwei nichtlinear elastischen Körpern eine notwendige Bedingung für energieminimale Lösungen abgeleitet. Da die Abstandsfunktion in der Nichtdurchdringungsbedingung von der Lösung abhängt waren erhebliche analytische Schwierigkeiten zu überwinden. Zur Sicherung der Normalität in der Lagrangeschen Multiplikatorenregel musste für den Kontaktrand eine gewisse Regularität angenommen werden. Zum Schluss war es überrascliend festzustellen, dass das "Einfrieren" eines der Körper als starres Hindernis schärfere Resultate Uefert als die Ergebnisse unter der Berücksichtigung der vollen Flexibilität beider Körper. Zur Herleitung einer Euler-Lagrange Gleichung für enrgieminimale Lösungen mit Selbstkontakt nnd der Berücksichtigung globaler Injektivität wurde eine neue Strategie entwickelt. Durch die Einführung lokaler Abstandsfunktionen zum Komplement des deformierten Körpers wurden zunächst nur Störungen betrachtet die innerhalb des deformierten Körpers verbleiben und den Kontaktrand nicht durchdringen. Dieser technisch sehr aufwendige Zugang lieferte dann eine Gleicliung mit einem Kontaktterm wobei zunächst jeder Randpunkt als Kontaktpunkt anzusehen war. Mit üblichen Störungen am Nicht- Kontaktrand erhält man schließlich das gewünschte Resultat. Bei allgemeinen elastischen Kontaktproblemen wird man in natürlicher Weise mit konzentrierten Kräften konfrontiert wenn man z.B. Ecken am Hindernis zuläßt. Eine detaillierte Beschreibung von derartigen Konzentrationen war jedoch im aktuellen Modell der Kontinuumsmechanik aufgrund gewisser Modellannahmen nicht möglich. Es wurde nun ein völlig neuer Zugang entwickelt der diesen Mangel beseitigt. Dabei werden Kontaktinteraktionen konsequent als Abbiklungen über Paaren von Teilkörpern beschrieben und Teilkörper werden mit Teilmengen im mengentheoretisclien Sinne identifiziert. Dadurch können verschiedene konzeptionelle Schwierigkeiten der klassischen Theorie in natürlicher Weise beseitigt werden. Insbesondere kann eine neue Charaktersierung von lang- und kurzreichweitigen Interaktionen mittels Additivitätseigenschaften abgeleitet werden. Die Untersuchungen in diesem Projekt waren Ausgangspunkt für neue und weiterführende Kooperationen und Projekte.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Contact between nonlinearly elastic bodies. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A 136A (2006) 1239-1266
D. Habeck, F. Schuricht
- A new mathematical foundation for contact interactions in continuum physics. Arch. Rational Mech. Anai. 184 (2007) 495-551
F. Schuricht
- Interactions in continuum physics. In: M. Silhavy (ed.), Mathematical Modeling of Bodies with Complicated Bulk and Boundary Behavior. Quaderni di Matematica 20 (2007) 169-196
F. Schuricht
- Kontaktprobleme in der nichtlinearen Elastiziätstheorie. Promotion, Universitat Dresden, 2008
D. Habeck
