AEI-DFG: Lagrangesche und Hamiltonsche Feldtheorien - Geometrie, Diskretisierung, Optimalsteuerung

• Antragstellerin: Professorin Dr.-Ing. Sigrid Leyendecker
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Mechanik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 541579394

Dynamische Systeme sind der Kern evolutionärer Probleme und durchdringen die gesamte Literatur zur angewandten Mathematik sowohl für endliche als auch für unendlich dimensionale Systeme und von der kontinuierlichen bis zur diskreten Evolution. Diese werden typischerweise in zwei Hauptkategorien klassifiziert: zeitkontinuierlich und zeitdiskret. Im ersten Fall ist die Zeit eine kontinuierliche Variable und das untersuchte dynamische System wird durch Differentialgleichungen beschrieben. Im zweiten Fall ist die Zeit eine diskrete Variable und das dynamische System wird durch Differenzengleichungen beschrieben. Um quantitative Ergebnisse für Erstere zu erhalten, ist es oft notwendig, diese zeitkontinuierlichen Systeme in entsprechende zeitdiskrete Systeme umzuwandeln, die ein Computer so verarbeiten kann, dass alle oder ein Teil der Eigenschaften des ursprünglichen Systems erhalten bleiben. Um diesen Diskretisierungsprozess geht es bei der geometrischen numerischen Integration. Darüber müssen dynamische Systeme, die sich sich sowohl zeitlich als auch in räumlichen Dimensionen entwickeln, beschrieben durch partielle Differentialgleichungen (PDEs), zumindest im Raum diskretisiertwerden. In diesem Projekt planen wir, grundlegende Probleme der geometrischen und numerischen Analyse dynamischer Systeme zu untersuchen, insbesondere Lagrange- und Hamilton-Feldtheorien und die optimale Kontrolle von PDEs, die die Kombination der kontinuierlichen und diskreten Gesichtspunkte erfordern, um Probleme mit Auswirkungen in der realen Welt anzugehen, wie es bei der Steuerung elastischer Systeme der Fall ist. Unser interdisziplinärer Vorschlag passt im Bereich der Mathematik und Mechanik in die als geometrische Mechanik bekannte Disziplin, in der Techniken der Differentialgeometrie, der angewandten Mathematik und der mathematischen Physik zum Einsatz kommen. Der Schwerpunkt des Projekts liegt auf der Entwicklung relevanter Aspekte der Geometrie dynamischer Systeme, PDEs und ihrer numerischen Implementierung. Es geht über theoretische Entwicklungen hinaus und umfasst relevante Anwendungen im Ingenieurwesen. Das Gesamtziel dieses Projekts ist zweifach. Einerseits wollen wir unser Verständnis der Geometrie hinter Feldtheorien und den damit verbundenen optimalen Steuerungsproblemen vertiefen. Andererseits beabsichtigen wir, strukturerhaltende Integratoren für feldtheoretische Systeme zu entwickeln und zu untersuchen, mit dem Ziel, diese auf optimale Steuerungsprobleme elastischer Systeme anzuwenden. Insbesondere werden wir variationelle partitionierte RK- und Runge-Kutta-Munthe-Kaas-Methoden (RKMK) entwickeln, die von Natur aus keine Lockingphänomene aufweisen. Wir wollen eine feldtheoretische diskrete Version des Hamilton-Pontryagin-Prinzips herleiten, die es ermöglicht, Methoden beliebiger Ordnung abzuleiten und diese Ergebnisse auf eine breitere Menge von Systemen zu verallgemeinern, wie z. B. aktuierte und eingeschränkte Systeme und optimale Kontrollprobleme.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Spanien
• Partnerorganisation: Agencia Estatal de Investigación
• Kooperationspartner: Professor Dr. David Martin de Diego