AEI-DFG – Klassische Singularitätentheorie trifft auf Methoden positiver Charakteristik

• Antragsteller: Professor Manuel Blickle, Ph.D.; Professor Dr. Duco van Straten
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 541528446

Während Singularitäten in der kommutativen Algebra und der Geometrie aus unterschiedlichen Motivationen und mit scheinbar weit entfernten Methoden untersucht werden, handelt es sich tatsächlich um dieselben Objekte. Ein Polynom über den ganzen Zahlen definiert eine Hyperebene über den komplexen Zahlen oder über einem Zahlkörper und über einem Körper beliebiger Charakteristik durch Reduktion modulo einer Primzahl, so dass in demselben Objekt komplexe Geometrie, Topologie, Arithmetik und positive Charakteristik interagieren. Die Geschichte hat gezeigt, dass ein fruchtbarer Informationsaustausch zwischen diesen verschiedenen Blickpunkten besteht. Dieses Projekt befindet sich an der Schnittstelle algebraischer Methoden zur Untersuchung von Singularitäten, wie sie von Blickle und Smirnov verfolgt werden, und geometrischer Aspekte der klassischen Singularitätstheorie von Räumen und Abbildungen, wie sie von de Bobadilla und van Straten verfolgt werden. Das übergeordnete Ziel des Projekts besteht darin, verschiedene Methoden und Ansätze zusammenzubringen, um einen neuen Blickwinkel zur Beantwortung zentraler Fragen in diesem Bereich zu gewinnen. Konkret sollen die folgenden Schlüsselziele erreicht werden: 1. Finden einer "volumenähnlichen" Invariante für rationale Singularitäten: Diese Invariante sollte nur bei rationalen Singularitäten positiv sein und Nicht-Singularität durch ihren maximalen Wert erkennen. 2. Aufbau einer Theorie der F-Signatur für allgemeine Cartier-Moduln. 3. Vergleich der Klassifikationen von Arnol'd und Nguyen von Hyperebenen-Singularitäten in Charakteristik Null und positiver Charakteristik und Ableitung einer Liste von benachbarten Singularitäten in gemischter Charakteristik. 4. Ausnutzung der Eigenschaften der oberen Halbstetigkeit von Frobeniusartigen Invarianten zur Auflösung von Singularitäten. 5. Untersuchung der kohomologischen Milnor-Faser für Glättungen von Hyperebenen in positiver/gemischter Charakteristik. und Ableitung. Ableitung von halbstetigen Invarianten durch Deformation. 6. Verallgemeinerung der Steenbrink/Rapoport–Zink-Spektralsequenz, um Modelle mit semilog-terminalen Singularitäten zu erfassen, wie sie im Rahmen der Minimal-Modell-Programms auftreten, um die redundanten Informationen in semistabilen Modellen zu reduzieren. Erforschung möglicher Anwendungen auf das Le-Ramanujam-Problem. 7. Verallgemeinerung des kohomologischen Gegenstücks der Begriffe "disentangelment" und "image Milnor number" in positiver/gemischter Charakteristik, wobei besonderes Augenmerk auf Mond's Vermutung gelegt wird.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Spanien
• Partnerorganisation: Agencia Estatal de Investigación
• Kooperationspartner: Professor Dr. Javier Fernandez de Bobadilla; Ilya Smirnov, Ph.D.