AEI-DFG: Nichtlokale Gradienten in Variationsrechnung und Materialmodellierung: Grenzwerte, Kerne, Ränder

• Antragstellerin: Professorin Dr. Carolin Kreisbeck
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 541520348

Traditionell werden viele Phänomene in Natur, Wissenschaft und Technik über Differentialgleichungen und lokale Variationsprinzipien beschrieben. Lokalität bedeutet in diesem Kontext, dass das Verhalten eines Objekts nur von seiner unmittelbaren Umgebung abhängt. Es gibt jedoch Situationen, bei denen übliche lokale Beschreibungen an ihre Grenzen stoßen, da Wechselwirkungen über größere Entfernungen und globale Effekte berücksichtigt werden müssen. Dies führt zu nicht-lokalen Modellen, deren Vorteile in vielen Anwendungsbereichen sehr deutlich sind, unter anderem, weil sie effektive Möglichkeiten bieten, unterschiedliche Längenskalen zu überbrücken und zu präziseren Vorhersagen führen. Einige dieser Bereiche sind die Materialwissenschaften, auf die sich dieser Antrag konzentriert, sowie Bildverarbeitung und maschinelles Lernen. Um zu einem besseren Verständnis von Nichtlokalität beizutragen, untersuchen wir in diesem Projekt eine neue Klasse relevanter Variationsprobleme mit Integralfunktionalen, die von nicht-lokalen Gradienten abhängen. Damit unterscheidet sich unser Ansatz einerseits von den Standardmodellen der Hyperelastizität, die übliche Gradienten beinhalten, und andererseits von der Theorie der Peridynamik, die ohne Gradienten formuliert ist. Ausgehend von Funktionalen mit einem spezifischen nicht-lokalen Gradienten verfolgt dieses Forschungsprogramm zwei übergeordnete Ziele: (A) das Bereitstellen der erforderlichen theoretischen Grundlagen, um nicht-lokale Hyperelastizität auf eine solide Basis zu stellen. Zu den wesentlichen Aspekten gehören dabei die Beziehungen zu lokalen und linearen Modellen, die Diskussion geeigneter lokaler Randwerte und die Nicht-Selbstdurchdringung von Materie. (B) die Entwicklung einer umfassenden variationellen Theorie für Probleme mit nicht-lokalen Gradienten, unter Berücksichtigung verschiedener Arten von Randbedingungen. Dies umfasst die Einführung neuer Funktionenräume und erfordert eine sorgfältige Untersuchung grundlegender struktureller Eigenschaften nicht-lokaler Gradienten, die sich von denen ihrer lokalen Gegenstücke unterscheiden. Trotz erster Fortschritte in den letzten Jahren bleiben viele konzeptionelle Fragen offen und neue Techniken zu etablieren, was Gegenstand dieses Forschungsvorhabens ist.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Spanien
• Partnerorganisation: Agencia Estatal de Investigación
• Kooperationspartner: Professor Dr. Carlos Mora Corral