AEI-DFG: Topologie von Modulräumen von Hodgebündeln, G-Higgsbündeln und Charaktervarietäten

• Antragsteller: Professor Dr. Jochen Heinloth
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 541511946

In diesem Projekt untersuchen wir die topologischen Invarianten der eng verwandten Modulräume von G-Higgsbündeln und Hodgebündeln auf Riemannschen Flächen und der Charaktervarietäten von Darstellungen der zugehörigen Fundamentalgruppe in eine reelle Liegruppe G. Diese Modulräume wurden auf Grund Ihre vielfältigen Beziehungen zu sehr unterschiedlichen Bereichen der Mathematik, von integrablen Systemen und Topologie bis zu arithmetischen Fragen aus dem Langlands Programm intensiv untersucht. Im Fall der allgemeinen linearen Gruppe gelang es damit schließlich die meisten geometrischen Invarianten dieser Räume zu bestimmen. Für allgemeine reelle Gruppen G sind aber selbst einfache topologische Invarianten dieser Räume nicht vollständig bekannt und in diesem Projekt möchten wir dafür eine neue Methode entwickeln. Unser Ansatz für dieses Problem verwendet eine Kombination aus Methoden eines kürzlich erfolgten Beweises für ein Analogon der Milnor-Wood Ungleichung für G-Higgsbündel im Fall von hermiteschen Gruppen und neuen Methoden zum Studium von Stabilitätsbedingungen für algebraische Stacks, die im Fall von Modulräumen von Hodgebündeln eine besondere Struktur aufweisen. Überraschenderweise, deutet diese Kombination von Methoden darauf hin, dass eine der Strategien für die Berechnung der Kohomologie und der Motive der Modulräume im Fall der allgemeinen linearen Gruppe, die wir zunächst nutzen konnten um topologische Invarianten im Fall von unitären Gruppen zu bestimmen, eine allgemeine Lie-theoretische Variante besitzt, die zugleich Desingularisierungen der häufig singulären Modulräume liefern sollte.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Spanien
• Partnerorganisation: Agencia Estatal de Investigación
• Kooperationspartner: Professor Oscar García-Prada