AEI-DFG: Boole'sche Funktionen und Designs

• Antragsteller: Professor Dr. Alexander Pott
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 541511634

In der Kryptographie werden häufig Abbildungen auf endlichen Körpern benutzt, deren Eigenschaften diametral entgegengesetzt sind zu linearen Abbildungen. Bei den meisten Konstruktionen werden die algebraischen Eigenschaften endlicher Körper ausgenutzt. Für die sehr verbreitete Klasse der "almost perfect nonlinear functions" (APN) sowie der "bent functions" kann man Nichtlinearität auch anders definieren. Dazu betrachtet man die zweidimensionalen affinen Unterräume in einem Vektorraum über einem Körper mit zwei Elementen. Die Punkte dieses Vektorraumes möchte man so umordnen, dass nach der Umordnung kein Unterraum erhalten bleibt. Wenn das gelingt (und nur dann), hat man eine bijektive APN Funktion konstruiert. Nun bilden die Unterräume aber ein kombinatorisches design, so dass man die exakt gleiche Frage auch für solche kombinatorischen designs stellen kann. Wir erwarten, dass man auf diese Art ganz neue Einsichten in die Eigenschaften von APN Funktionen gewinnen kann, insbesondere die Frage nach der Existenz von bijektiven APN Abbildungen. Ist es vielleicht einfacher, solche Umordnungen zu erhalten, wenn man andere designs betrachtet? Woher rührt dann die Schwierigkeit, APN Funktionen zu finden, wenn man mit dem design der zweidimensionalen Unterräume arbeitet? Wir werden auch neue Konstruktionsverfahren für APN Funktionen untersuchen, indem wir andere algebraische Strukturen benutzen als nur endliche Körper. Wenn man sich auf quadratische Abbildungen beschränkt, dann sollte es möglich sein, auch semifields zu nutzen, weil im quadratischen Fall keine Assoziativität der Multiplikation benutzt wird (die in semifields nicht unbedingt gilt). Auf die Art kann man vermutlich auch neue Sequenzen konstruieren. Des weiteren wollen wir manche Kryptosysteme, die darauf beruhen, dass quadratische Funktionen "maskiert" werden, genauer untersuchen. Einerseits wollen wir die quadratischen Funktionen durch andere ersetzen (siehe oben), aber wir wollen auch die Maskierung erweitern, indem man nicht nur, wie zur Zeit, affine Äquivalenz zulässt, sondern auch die deutlich reichhaltigere CCZ-Äquivalenz.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Spanien
• Partnerorganisation: Agencia Estatal de Investigación
• Kooperationspartner: Professor Dr. Domingo Gomez-Perez