AEI-DFG - Operatortheorie auf freien Banachverbänden

• Antragsteller: Professor Dr. Jochen Glueck
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 541471251

Banachverbände sind eine Verallgemeinerung von Funktionenräumen und bieten einen Rahmen um verschiedene klassische Räume aus der Analysis einheitlich zu behandeln. Sie sind Banachräume, die zusätzlich eine Ordnungs- und Verbandsstruktur tragen, welche sich ähnlich verhält wie die punktweise (oder fast überall) Ordnung in klassischen Funktionenräumen. Ein linearer Operator zwischen zwei Banachverbänden heißt "positiv", falls er positive Vektoren auf positive Vektoren abbildet. Die Relevanz von Banachverbänden und positiven Operatoren liegt vor allem in den folgenden beiden Punkten begründet: Einerseits besitzen diese Objekte eine tiefe und weitreichende Strukturtheorie, die seit mehreren Jahrzehnten studiert wird, aber bei Weitem noch nicht abgeschlossen ist. Eine große Anzahl offener Probleme liefert Anregungen für die weiterhin fortschreitende Forschung in diesem Bereich. Andererseits spielen Argumente, die auf Ordnungsstrukturen und positiven Operatoren basieren, eine wesentliche Rolle für Anwendungen in verschiedenen Teilgebieten der Analysis, beispielsweise in partiellen Differentialgleichungen, der stochastischen Analysis oder den dynamischen Systemen. Banachverbände und Positivität sind ein abstrakter Rahmen, der sich unter vielen Argumenten in diesen Gebieten verbirgt und der zahlreiche Werkzeuge für diese Gebiete zur Verfügung stellt. Eine sehr aktuelle Entwicklung ist die Einführung von "freien Banachverbänden". Sie kombinieren das Konzept "freier Objekte" (aus der universellen Algebra und der Kategorientheorie) mit dem funktionalanalytischen Bereich der Banachverbände. Es ist äußerst bemerkenswert, dass diese neue Theorie eine Vielzahl neuer Beispiele für Banachverbände liefert, die in bestimmter Weise kanonisch sind, sich zugleich aber überraschend anders verhalten, als man es mit Blick auf klassische Funktionenräume vermuten würde. Die Entwicklung der Theorie freier Banachverbände enthält eine Reihe von Konzepten und Ergebnissen über positive Operatoren. Allerdings wurde bisher noch kein Versuch unternommen, eine umfassende Theorie positiver Operatoren auf freien Banachverbänden zu erarbeiten. Das Ziel dieses Projekts ist es, diese Lücke zu füllen. Dies wird einerseits zu zahlreichen Einsichten über das Verhalten positiver Operatoren auf freien Banachverbänden führen und somit einen signifikanten Beitrag zur Theorie freier Banachverbände selbst liefern. Andererseits bieten die universellen Eigenschaften freier Banachverbände die Möglichkeit neue Arten von Gegenbeispielen zu konstruieren und damit Fragen aus der allgemeinen Theorie positiver Operatoren zu beantworten, die seit langer Zeit offen sind.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Spanien
• Partnerorganisation: Agencia Estatal de Investigación
• Kooperationspartner: Dr. Pedro Tradacete