AEI-DFG: Funktionenräume und hochdimensionale Approximation

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professorin Dr. Dorothee Haroske; Professor Dr. Thomas Kühn
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 541400746

Funktionenräume vom sogenannten Besov- oder Sobolev-Typ werden seit vielen Jahrzehnten intensiv erforscht, sie treten natürlicherweise im Zusammenhang mit der Behandlung partieller Differentialgleichungen auf. Ihre Untersuchung benutzt vielfältige klassische und moderne Methoden der Funktionalanalysis und harmonischen Analysis, die dadurch wiederum bis heute neue Impulse zur Weiterentwicklung erhalten. Das betrifft z.B. Fragen der Interpolationstheorie, der Darstellung entsprechender Distributionen mittels Wavelets oder Atomen, sowie vielfältige Approximationsfragen. Dies reicht von der eher abstrakten Problematik der Approximation kompakter linearer Operatoren durch spezielle eindimensionale, also der Nuklearität eines Operators, bis hin zu numerisch essentiellen Fragen sogenannter hoch-dimensionaler Approximation: während es aus funktionalanalytischer Sicht befriedigend sein kann, das asymptotische Verhalten gewisser Approximationsgrößen (z.B. Approximationszahlen) bis auf gewisse kontextabhängige, aber von der Approximationsstufe unabhängige Konstanten zu kennen, ist dies für numerische Anwendungen unbefriedigend, weil gerade diese generellen Konstanten die Approximationsgeschwindigkeit für -- im Vergleich zur Dimension -- weniger Approximationsschritte dominieren. Im Falle hoch-dimensionaler Fragestellungen, also großer Dimensionen $d$, sind dann die theoretischen Erkenntnisse im Grenzwert von weniger Wert als das sogenannte präasymptotische Verhalten. Solche Phänomene treten z.B. in der Finanzmathematik, Quantenchemie, Modellierungen stochastischer partieller Differentialgleichungen auf. Dies erklärt auch das lebhafte Interesse etlicher Forscher aus anderen Gebieten wie z.B. IBC (Information-Based Complexity), Maschinellem Lernen, neuronalen Netzen an den theoretischen Vorarbeiten. In diesem Antrag beschäftigen wir uns mit der genaueren Untersuchung von Besov-Räumen als Multiplikationsalgebren (einer Eigenschaft, die im Zusammenhang mit der Lösung von Navier-Stokes-Gleichungen und nichtlinearen Wärmeleitungsgleichungen im Kontext von Besov-Räumen auftaucht), mit der reellen Interpolation von Besov-Lorentz-Räumen (hier gibt es lange offene Fragen, die erst kürzlich mit neuen Methoden in einer Arbeit der Antragsteller im Spezialfall beantwortet werden konnte), mit der Frage der Nuklearität in Besov-Räumen dominierend gemischter Glattheit (die für Anwendungen wichtig sind), und Fragen hochdimensionaler Approximation, einerseits im Kontext von Gevrey-Räumen, andererseits mit Fokus auf das oben beschriebene präasymptotische Verhalten. Wir gehen davon aus, dass wir mit unserer gemeinsamen Expertise und Vorarbeiten im Bereich der Funktionalanalysis und der Theorie der Funktionenräume, wesentliche neue Resultate beweisen können, die dann für die Anwendungen (partielle Differentialgleichungen, Numerik) wichtig sind.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Spanien
• Partnerorganisation: Agencia Estatal de Investigación
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Professor Dr. Fernando Cobos; Professorin Dr. Luz M. Fernández-Cabrera