AEI-DFG: Darstellungszetafunktionen von arithmetischen Gruppen, kompakten analytischen Gruppen und verzweigten Gruppen

• Antragsteller: Dr. Steffen Kionke; Professor Dr. Benjamin Klopsch
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 541392601

Ein wichtiges Teilgebiet der Gruppentheorie beschäftigt sich mit linearen Darstellungen von Gruppen, d.h., mit Realisierungen von Gruppen bzw. deren Quotienten als konkrete Matrizengruppen über einem Körper, etwa über den komplexen Zahlen oder auch andersartigen, z.B. endlichen Zahlbereichen. Selbst für ausgewählte Klassen von Gruppen, deren Struktur relativ gut verstanden sein mag, ist die zugehörige Darstellungstheorie, die prinzipiell insbesondere einen Überblick über alle möglichen irreduziblen Darstellungen liefern sollte, schwierig und oftmals in einem technischen Sinne nicht explizit handhabbar. Indem wir Hilfsmittel der Zahlentheorie, geeignete Dirichlet-Erzeugendenfunktionen, einsetzen, können wir die asymptotische Verteilung von Darstellungen solcher Gruppen dennoch erfassen und mit neuen Methoden, z.B. aus der Geometrie, studieren. Die dabei zu Tage tretenden Darstellungszetafunktionen bilden weitreichende Verallgemeinerungen der berühmten Riemannschen Zetafunktion. In jüngster Vergangenheit hat es sehr interessante Weiterentwicklungen bezüglich Darstellungszetafunktionen gegeben, z.B. für komplexe Darstellungen von arithmetischen Gruppen und p-adischen Liegruppen. Im Zuge der Untersuchung von probabilistischen Eigenschaften von Gruppen sind kürzlich verstärkt Darstellungen über endlichen Körpern ins Rampenlicht geraten. Ziel des Projektes ist es, unser Verständnis von Darstellungszetafunktionen für drei große Klassen von Gruppen im Schulterschluss miteinander wesentlich zu erweitern, nämlich für: (i) arithmetische Gruppen, (ii) kompakte nicht-archimedische Liegruppen und (iii) proendliche verzweigte Gruppen. Letztere bilden eine besondere Klasse von Gruppen von Automorphismen gewurzelter Bäume, die einerseits Verbindungen zu den benannten Liegruppen aufweisen, andererseits aber auch ganz andere Struktureigenschaften besitzen. Während bisherige Untersuchungen nahezu ausschließlich auf Darstellungen über den komplexen Zahlen beschränkt waren, möchten wir Darstellungen über anderen arithmetisch relevanten Grundkörpern - etwa endlichen Körpern oder algebraischen Zahlkörpern - unter die Lupe nehmen. Auf diese Art erweitert sich das Forschungsgebiet in vielfältiger Weise: Eine signifikant größere Auswahl von Gruppen können untersucht werden, und in Verbindung mit der Wahl des Grundkörpers tauchen neuartige arithmetische Phänomene auf, die erklärt werden wollen. Die zu entwickelnden Lösungsstrategien und Methoden werden auch in anderen Zusammenhängen von Nutzen sein. Das Projekt beinhaltet konkret erreichbare Ziele, die Teil einer langfristigen Weiterentwicklung der asymptotischen Gruppentheorie bilden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Spanien
• Partnerorganisation: Agencia Estatal de Investigación
• Kooperationspartner: Privatdozent Dr. Jon Gonzalez-Sanchez