Über Conley–Zehnder Indizes und Bifurkationsgraphen im räumlichen restringierten Dreikörperproblem

• Antragsteller: Dr. Cengiz Aydin
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 541062288

Das Ziel dieses Projekts besteht darin, die Interaktion zwischen moderner symplektischer Geometrie und hochkomplexen Ingenieursproblemen im restringierten Dreikörperproblem zu fördern. Um die Pole von Planeten oder Monden, die von Interesse sind, sind räumliche periodische Bahnen erforderlich. Eine Methode um räumliche periodische Bahnen zu finden, besteht darin, räumliche Bifurkationen aus Familien von planaren periodischen Bahnen zu untersuchen. Dies entsteht, wenn die räumlichen Floquet-Multiplikatoren durch eine Einheitswurzel verlaufen. Da diese Familien erneut bifurkieren und sich treffen können, kann dieses Verfahren kompliziert werden. Daher stellt sich die natürliche Frage: "Gibt es ein übersichtliches globales Bild der Zusammenhänge solcher Familien?" Während meiner Doktorarbeit konnte ich moderne Methoden der symplektischen Geometrie nutzen, um diese Frage für das räumliche Hill-Dreikörperproblem, einen Grenzfall des restringierten Dreikörperproblems, auf den Grund zu gehen. Die Neuheit besteht darin, den Conley–Zehnder Index und seine Interaktion mit Bifurkationsstellen zu betrachten. An Bifurkationsstellen springt der Index. Wenn man lokal in der Nähe einer Familie von nicht-entarteten periodischen Bahnen arbeitet, gibt es glücklicherweise eine faszinierende Bifurkationsinvariante: die lokale Floer-Homologie und damit ihre Euler-Charakteristik. Da der Index zu einer Graduierung der lokalen Floer-Homologie führt, liefert der Index wichtige Informationen darüber, wie verschiedene Familien vor und nach der Bifurkation zusammenhängen. Das Ziel dieses Projekts ist es, die von mir entwickelten Techniken und Ergebnisse aus dem Hill-Dreikörperproblem auf das restringierte Dreikörperproblem zu erweitern, mit einem besonderen Schwerpunkt auf das Erde–Mond System.

• DFG-Verfahren: WBP Stelle