Morse theoretische Methoden in Analysis, Dynamik, und Geometrie

• Antragsteller: Professor Dr. Luca Asselle
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 540462524

Seit der Arbeit von Morse über Riemann'sche Geodätischen sind Morse theoretische Methoden im Mittelpunkt der "nicht-perturbativen“ Untersuchung von Differentialgleichungen, die eine variationelle Formulierung besitzen. In ihrer klassischen Formulierung ist Morse Theorie für die Untersuchung von stark-indefinierten Funktionalen, d.h. Funktionale deren kritische Punkte unendlichen Morse Index und Ko-Index haben, nicht geeignet. Eine modernere Herangehensweise, welche auf stark-indefienierte Funktionale anwendbar ist, wurde von Smale in den 1960'er bzw. von Floer in den 1980'er eingeführt, und führte zur Entwicklung der sogenannten Morse und Floer Homologie. Floer Homologie ist seit ihrer Einführung eines der ergiebigsten Werkzeuge der Kontakt- und symplektischen Geometrie, dennoch sind Homotopie-Konstruktionen mit Floer Homologie schwierig zu erhalten, unter anderem aufgrund von Transversalitätsproblemen. Morse Homologie ist dagegen in ihrer Natur geometrischer, da sie auf den Durchschnitt echt geometrischer Objekte (nämlich stabiler und unstabiler Mannigfaltigkeiten von kritischen Punkten) basiert, und Transversalitätsprobleme sind mit geringerem technischen Aufwand zu beheben, da die Klasse von zulässigen Störungen größer ist. Dies legt nahe, dass die Möglichkeit besteht, die oben genannten Homotopie-Konstruktionen mithilfe von Morse Homologie zu erhalten. Diese Herangehensweise wäre neu. Eine Schwierigkeit bei diesem Ansatz ist jedoch, dass Morse Homologie ein „gutes" analytisches Setting benötigt, um überhaupt definiert werden zu können. Bisher wurde Morse Homologie für stark-indefinierte Funktionale nur in einem Hilbert Setting definiert, viele anwendungsorientierte Beispiele (z.B. aus der Theorie der partiellen Differentialgleichungen) sind aber in natürlicher Weise auf einem Banach Setting zu untersuchen. Ziel dieses Projektes ist zweifach: i) Konstruktion von Morse Homologie für verschiedene Klassen von Funktionalen auf Banachmannigfaltigkeiten, wie z.B. die Klasse von gestörten Dirac-harmonischen Funktionalen (aus der Quantenfeldtheorie), und ii) Verbesserung der zur Floer Homologie alternativen im NCN/DFG-Projekt 380257369 "Morse theoretische Methoden in Hamilton'scher Dynamik" bereits entwickelten Methoden für das Hamilton'sche Wirkungsfunktional auf Kotangentialbündel und torische Mannigfaltigkeit.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Polen
• Partnerorganisation: Narodowe Centrum Nauki (NCN)
• Mitverantwortlich: Professor Dr. Alberto Abbondandolo
• Kooperationspartner: Dr. Maciej Starostka