Wärmeleitungskernverhalten auf Graphen im Unendlichen

• Antragsteller: Dr. Christian Rose
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 540199605

Die Verteilungsgesetze von Diffusionsprozessen werden über die Wärmeleitungsgleichung auf Räumen modelliert, die mit einem natürlichen Laplace- Operator ausgestattet sind. Laplace-Operatoren kodieren die lokale Geometrie die sich sensibel auf das Verteilungsgesetz des Prozesses auswirkt. Andererseits kann man anhand des global definierten Diffusionsprozesses die globale geometrische Information des zugrunde liegenden Raums untersuchen. Der grundlegende Aspekt des vorliegenden Antrags ist die Untersuchung tiefer Verbindungen zwischen Geometrie und analytischen Phänomenen, die durch die Wärmeleitungsgleichung modelliert werden. Während dies ein klassisches Thema auf Mannigfaltigkeiten ist, gibt es wichtige Themen auf Graphen, die bisher nur marginal verstanden sind. Dazu gehören insbesondere Graphen mit sehr inhomogenen bzw. unbeschränktem Grad. Ziel ist es, neue Erkenntnisse über die Eigenschaften des Wärmeflusses auf solchen Graphen zu gewinnen und rückwirkend globale Eigenschaften der zugrunde liegenden Strukturen zu untersuchen. Der Wärmeleitungskern ist die Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung. Er kodiert geometrische Informationen analytisch. Sein lokales Verhalten ist in der lokalen Geometrie kodiert, während sein globales Verhalten die globale Geometrie widerspiegelt. Die vorliegende Forschung kann in folgende Projekte unterteilt werden: (i) Charakterisierung Gaußscher oberer Schranken (ii) Charakterisierung Gaußscher oberer und unterer Schranken (iii) Elliptische und parabolische Harnack-Ungleichungen (iv) Harmonische Funktionen und Rückwärtslösungen Die Relevanz des Wärmeleitungskerns rechtfertigt sich nicht nur durch seine mathematische Schönheit, sondern hat sich auch durch die enorme Anzahl von Anwendungen bewährt. Er ist ein zentrales Thema in partiellen Differentialgleichungen und durch seine direkte probabilistische Interpretation auch in der Stochastik und Statistik von Bedeutung. Der Wärmefluss ist auch ein wichtiges Werkzeug in der Geometrie, Topologie sowie in der Spektraltheorie. Außerdem sind solche Abschätzungen in der numerischen Analysis von Bedeutung. Das Forschungsthema zielt darauf ab, Abschätzungen des Wärmeleitungskerns jenseits der klassischen restriktiven geometrischen Beschränkungen zu verstehen. Dies ist sowohl aus mathematischer Sicht von Bedeutung, wie auch für Anwendungen in realen Netzwerken, die oft wenig Knoten mit sehr hohem und eine Mehrheit von Knoten mit niedrigem Grad aufweisen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen