Tropische Daten in der kombinatorischen algebraischen Geometry

• Antragstellerin: Dr. Alheydis Geiger
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 539846931

Mathematische Daten gewinnen vor allem in der Kombinatorik an Bedeutung. Ein Ziel dieses Projekts ist es, mit den Daten rund um die (tropische) Grassmannsche und ihre Untervarietäten sowie Analoga wie den Modulraum von Punktkonfigurationen oder den Modulraum von del Pezzo-Flächen dritten Grades zu arbeiten und diese Daten mit einem Fokus auf die Verbindung von tropischer Geometrie und Kombinatorik weiter zu untersuchen. Das Hauptobjekt dieser Untersuchung sind Matroide. In einem ersten Schritt werden vorhandene Daten gesammelt und neue Daten rund um die tropische, chirotopale, positive oder selbstduale Grassmannsche berechnet und nach den FAIR-Datenprinzipien zur Verfügung gestellt. In der folgenden Untersuchung wird ein besonderer Fokus auf selbstduale Positroide und die selbstduale Grassmannsche für Matroide vom Rang 4 gelegt. Letzteres Objekt spielt auch eine wichtige Rolle bei der Untersuchung von Mustafin-Entartungen des 3-dimensionalen projektiven Raums in Bezug auf fesgelegte Punkte. Es bietet einen kleineren Raum möglicher Punktkonfigurationen als der vollständige Modulraum. Diese Analyse ist auch Teil des Antrags. Für den Modulraum der kubischen del Pezzo-Flächen wollen wir uns besonders auf die tropischen positiven Aspekte konzentrieren, d.h. welche der tropischen kubischen Flächen positiv sind. Für die tropische Grassmannsche Gr(2,n) entspricht Positivität der Planarität eines zyklisch beschrifteten Baumes. Wir wollen diese Identifikation auf die tropischen kubischen Flächen ausdehnen, die durch eine Anordnung von 27 Bäumen identifiziert werden können. Um einen Parameter- oder Modulraum zu verstehen, ist es wichtig, seine Kompaktifizierung und seine Begrenzung zu kennen. Dies ist der Gegenstand der Untersuchung im vorletzten vorgeschlagenen Projekt dieses Antrags. Eine numerische Methode, die tropische Geometrie verwendet, scheint die Stratifizierung des Randes der Modulräume von Punktkonfigurationen und des Modulraums von del Pezzo-Flächen vom Grad 2 und 3 zu erfassen. Das Ziel ist es, diese Korrespondenz besser zu verstehen und die Technik auf andere Verdichtungen auszudehnen, um kombinatorische Einsichten zu gewinnen. Der letzte Teil befasst sich mit (selbstdualen) Matroiden von Graphenkurven. Letztere sind kombinatorische Objekte: Kurven, die bis zur projektiven Transformation eindeutig durch ihre dualen Graphen bestimmt sind, die einfach, 3-verbunden und drei-valent sind. Mit Hilfe von generischen Hyperebenenschnitten kann man aus einer solchen Graphenkurve ein selbstduales Matroid gewinnen. Dieses Matroid ist weder das graphische Matroid des zugehörigen Graphen noch sein Dual. Dieser Vorgang lässt sich durch algebraische Geometrie erklären. Es fehlt jedoch ein vollständiges kombinatorisches Verständnis des Prozesses, der Abhängigkeiten und Kausalitäten. Dies soll nun nachgeholt werden.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2458: Kombinatorische Synergien