Control of extended fast comlex systems by means of spatio-temporal delayed feedback
Final Report Abstract
Das Konzept der Chaoskontrolle beruht im Wesentlichen auf dem Befund, dass sich die instabilen periodischen Orbits, die das Skelett der chaotischen Dynamik bilden, mit nicht-invasiven Kontrollverfahren durch kleine Eingriffe stabilisieren lassen. Auf Grund ihrer konzeptionellen Einfachheit haben sich in letzter Zeit vor allem Verfahren durchgesetzt, bei denen die Kontrollkräfte direkt aus zeit verzögerten Messsignalen gewonnen werden und die dadurch auch in extrem schnellen experimentellen Systemen anwendbar sind. Ziel unserer Untersuchungen war die Kontrolle von Systemen, die aufgrund topologischer Einschränkungen oder einer hohen Zahl von Freiheitsgraden für konventionelle zeitverzögerte Rückkopplungsmethoden bisher nicht zugänglich waren. Dabei haben wir uns auf die folgenden Punkte konzentriert: (i) Rhythmische Kontrolle: Es wurde die Möglichkeit zeitverzögerter Rückkopplungskontrolle an periodischen Orbits mit nicht-tordierender Nachbarschaft untersucht. Beispiele solcher Orbits, die mit konventioneller zeitverzögerter Rückkopplung nicht stabilisiert werden können, findet man u.a. am Lorenz-Attraktor. Neben der zeitlichen Modulation der Kontrollamplitude K(t) wurde das kürzlich von Pyragas vorgeschlagene Konzept des 'instabilen Controllers' eingesetzt. Analytische Untersuchungen an Modellsystemen (Rössler-System, logistische Gleichung) sowie Experimente an nichtlinearen elektronischen Schaltkreisen belegen die erfolgreiche Umsetzung beider Konzepte. (ii) Raumzeitliche Kontrolle in ausgedehnten nichtlinearen Systemen: Motiviert durch Fragestellungen der Strukturbildung in Halbleitersystemen, haben wir zeitverzögerte Rückkopplungsverfahren auf Reaktions-Diffusions-artige Systeme und gekoppelte Oszillatormodelle angewandt. Dabei wurden unterschiedlichen Kopplungsschemata quantitativ verglichen. Es zeigt sich, dass die Effizienz der Kontrollverfahren um mehrere Größenordnungen gesteigert wird, wenn Eigenmoden des instabilen Orbits in das Design des Kontrollkreises einfließen. (iii) Globale Eigenschaften: Erstmalig haben wir auch globale Eigenschaften der zeitverzögerten Rückkopplungskontrolle untersucht, die u.a. Aussagen über das Einzugsgebiet des kontrollierten Zustands erlaubten. Dabei hat sich gezeigt, dass subkritische Bifurkationen an den Grenzen des Kontrollbereichs zu sehr kleinen Einzugsgebieten führen und so die Wirksamkeit der Kontrolle stark einschränken können. Unsere analytischen Ergebnisse fanden durch experimentelle Untersuchungen am extern getriebenen Diodenresonator eine sehr gute Bestätigung.
Publications
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