Funktionale Fehlerschätzer für PDEs in Außengebieten

• Antragsteller: Professor Dr. Dirk Pauly
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 530764468

o Breiterer Forschungskontext. In der Numerik von PDEs wird die Konvergenz numerischer Verfahren durch Singularitäten der gegebenen Daten und/oder der unbekannten Lösung gestört. Darüber hinaus erfordern PDEs auf unbeschränkten Gebieten häufig Randelementmethoden (BEM) mit dichten Matrizen. Mit dem finalen Ziel, eine diskrete Lösung mit einem Fehler unterhalb einer vorgeschriebenen Toleranz bei quasi minimalem Rechenaufwand zu berechnen, muss das numerische Schema den Diskretisierungsfehler, den Konsistenzfehler (aus der Matrixnäherung) und den Löserfehler eines iterativen Lösers ausgleichen. o Methoden und Ziele. Eine neuere Arbeit der Antragsteller schlägt funktionale a-posteriori- Fehlerschätzer für das Laplace-Problem vor, die den Energie-Fehler der PDE-Lösung anstelle des Fehlers der berechneten Integraldichte kontrollieren. Der Vorteil dieses Ansatzes für die Praxis besteht darin, dass er sich auf physikalische Größen konzentriert und auch die Kollokations-BEM abdeckt. Die Projektziele lassen sich grob wie folgt zusammenfassen: (1) Während die erwähnte eigene Arbeit BEM für das Laplace-Problem auf beschränkten Gebieten abdeckt, wurden numerische Experimente (und Al- gorithmen) nur für 2D entwickelt. Unser Ziel ist es, eine 3DImplementierung zu entwickeln, zu testen und zu validieren. (2) Wir erweitern die Analyse funktionaler Fehlerschätzer auf Laplace- Probleme in unbeschränkten Gebieten und auf Transmissionsprobleme vom Laplace-Typ mit (möglicherweise) stark monotoner Nichtlinearität, die durch FEM-BEM-Kopplungen diskretisiert werden. (3) Wir behandeln stationäre 3D-Maxwell-Gleichungen. Letztere sind mathematisch herausfordernd, da unendlichdimensionale Kerne durch ausgefeilte operatortheoretische Methoden behandelt werden müssen und numerisch zu multiplen Sattelpunktformulierungen führen. (4) Wir entwickeln adaptive Strategien, die die Komprimierung der beteiligten BEM-Matrizen und die adaptive Beendigung des iterativen Lösers beinhalten. Darüber hinaus streben wir rigorose mathematische Konvergenzergebnisse an – zumindest für Galerkin-BEM. o Innovation. Wir werden ein mathematisches Verständnis des optimalen Zusammenspiels von adaptiver Netzverfeinerung, iterativen Lösern und BEM- Matrixkompression vermitteln. Obwohl dies in der Praxis dringend erforderlich ist, ist die Analyse dazu rar (über asymptotische Ergebnisse auf einheitlichen Netzen hinaus). Für die Maxwell-Gleichungen wird das Projekt wichtige Beiträge zur a-posteriori-Fehlerschätzung für Größen von physikalischem Interesse auf unbegrenzten Gebieten leisten. Alle theoretischen Erkenntnisse werden in MATLAB (in 2D) und NGSol- ve/BEM++ (in 3D) umgesetzt. Die Codes werden der akademischen Öffentlichkeit zur Verfügung gestellt, um die praktischen Auswirkungen der entwickelten mathematischen Konzepte und Ergebnisse zu unterstreichen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Österreich
• Kooperationspartner: Professor Dr. Dirk Praetorius