Symmetrien in Topologie und Algebra

• Antragsteller: Professor Dr. Markus Land
• Subject Area: Mathematik
• Term: since 2023
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 527329998

In dem in diesem Antrag beschriebenen Projekt soll es um kohomologische und homotopische Invarianten von Symmetriegruppen in Algebra und Topologie, und allen voran deren Beziehung gehen. Im Vordergrund stehen hier auf der Seite der Topologie die Abbildungsklassengruppen und auf der Seite der Algebra die symplektischen Gruppen. Es gibt eine natürliche Abbildung von der Abbildungsklassengruppe in die symplektische Gruppe und es geht in diesem Antrag zum einen darum, den Effekt dieser Abbildung auf (stabiler) Kohomologie mit endlichen Koeffizienten zu beschreiben (dies beinhaltet auch ein konkreteres Beschreiben der Kohomologie der Abbildungsklassengruppe mit endlichen Koeffizienten als bisher verfügbar). Die Kombination von diversen Sätzen besagt, dass die (stabilen) Kohomologien beschrieben werden durch die Kohomologie von den unterliegenden Räumen der Spektren MTSO(2) und GW^{-s}(Z) - dem Thom Spektrum des inversen Tautologischen Bündels über CP^\infty und dem antisymmetrischen Grothendieck--Witt Spektrum von Z. Diese Objekte haben nun auch interessante höhere Homotopiegruppen (anders als die klassifizierenden Räume der obigen Symmetriegruppen) und es geht zum anderen darum, deren Homotopiegruppen vermöge der oben angedeuteten Abbildung zu vergleichen. Das Projekt besteht aus diversen einzelnen Meilensteinen, die etwas zu diesen Fragen untersuchen sollen, insbesondere zum Beispiel soll gezeigt werden, dass obige Abbildung impliziert, dass es eine induzierte Familie von Elementen in der stabilen mod 2 Kohomologie der Abbildungsklassengruppe gibt, welche Grad $8i-3$, mit $i\geq 1$ haben, und diese Elemente zu studieren, aber auch, den Signatur Homomorphismus auf der Homotopie von MTSO(2) mit einer Abbildung MTSO(2) -> GW^{-s}(Z) in Verbindung zu bringen und zu berechnen. Diverse weitere verwandte Fragen und Verallgemeinerungen ergeben sich dann auch, zB auf die Spin-Abbildungsklassengruppe und der quadratischen symplektischen Gruppe, aber auch höher dimensionale Analoge der obigen Symmetrien von Flächen.

• DFG Programme: Sachbeihilfen