Numerische konvexe Integration

• Antragsteller: Dr. Peter Korn; Professor Dr. László Székelyhidi
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 500072446

Die konvexe Integration (CI) wurde im Zusammenhang mit Onsager's Hypothese in der vergangenen Dekade zu einer konstruktiven Methode zur Lösung der Euler-Gleichungen weiterentwickelt. Aufgrund ihrer Flexibilität konnte diese nachfolgend auf weitere Modelle der Kontinuumsmechanik angewandt werden (inhomogene/kompressible Euler-, skalare Transport-, Magneto-Hydrodynamik- und Boussinesq- bzw. Navier-Stokes- und Advektions-Diffusionsgleichungen). Dieses Projekt konzentriert sich auf die Eulergleichungen, da sie das einfachste Modell mit umfassender CI-Theorie darstellen. Ziel ist, die abstrakte CI-Konstruktion schwacher Lösungen in einen validierten Rechenalgorithmus überzuführen. Dieser wird es erstmals ermöglichen, schwache Lösungen der Eulergleichungen mit K41 Turbulenzspektrum gemäß Onsagers Hypothese zu konstruieren. Ein solches Verfahren stellt im Erfolgsfall einen Durchbruch in der geophysikalischen Turbulenztheorie dar. Insbesondere soll dieses Projekt • jüngere Arbeiten zu K41 und intermittenten schwachen Lösungen um ein an Waveletmethoden orientiertes konstruktives Schema erweitern, das alternative in der Literatur vorgestellte Verfahren vereinheitlicht, • eine Implementierung dieses Verfahrens bereitstellen, die es erlaubt Skalenbereiche darzustellen, die weit über das bisher in Turbulenzsimulationen auf Supercomputern Erreichbare hinausgehen, • erzielte numerische Konvergenzraten mit aus der abstrakten Theorie bekannten Schranken vergleichen, • erstmals Lagrange-Eigenschaften von K41-Lösungen sowie der verwandten intermittenten schwachen Lösungen liefern und • weiterführende numerische Konstruktionen schwacher Lösungen mit multifraktalen Eigenschaften mit dem Ziel untersuchen, neue Schranken für die Exponenten von Strukturfunktionen aufzuzeigen. Die grundlegende CI-Methode zur Konstruktion schwacher Lösungen folgt Nashs ursprünglichem Ansatz für rauhe isometrische Immersionen. Diese Technik wurde bereits rechentechnisch implementiert, um Nash-Lösungen in einem geometrischen Kontext zu visualisieren. Der Algorithmus ist in der relevanten Publikation beschrieben und das Programm verfügbar (http://hevea-project.fr). Obwohl aber CI für die Strömungsmechanik auf Nashs Schema aufbaut, gibt es wichtige Unterschiede zu diesem, nämlich mehrdimensionale Grundelemente, eine zu lösende partielle Differentialgleichung in Divergenzform, die nichtlokale Operationen erforderlich macht, die Nutzung von super-exponentieller Skalierung von Frequenzen/Wellenzahlen, oder das Auftreten (nicht)linearer Advektionsterme. Eine direkte Übernahme der Implementierung von Nashs Verfahren ist also nicht möglich, dient aber als Konzeptnachweis. Ein weiterer Grund für eigenständige Entwicklungen ist, dass wir hier nicht nur an Visualisierungen sondern an einer vollständigen Charakterisierung der schwachen Lösungen, inklusive ihrer Euler-Lagrange-Eigenschaften und des nicht-isotropen Verhaltens im Falle der geophysikalischen Anwendungen von Projekt 2 interessiert sind.

• DFG-Verfahren: Forschungsgruppen
• Teilprojekt zu: FOR 5528: Mathematische Untersuchungen von geophysikalischen Fluid-Modellen: Analysis und Numerik
• Mitverantwortlich: Professor Dr.-Ing. Rupert Klein