Symmetrie, Längen und tangentiale Beschränkungen

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Dr. Hanne Hardering; Dr. Simon Praetorius
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 417223351

Monoschichten aus anisometrischen Molekülen auf gekrümmten Oberflächen zeigen eine nicht-triviale Orientierungsordnung, die von der Form und Symmetrie der Moleküle aber auch von der Topologie und der Krümmung der Oberfläche abhängt. Physikalische Modelle stellen die bevorzugte mikroskopisch gemittelte molekulare Orientierung durch vektorielle oder tensorielle Ordnungsparameter mit zusätzlichen Beschränkungen, wie Einheitslänge und Rotationssymmetrie dar. Längenbeschränkungen können als S2-Zielverteilungsbeschränkung, Kopf-Schwanz-Symmetrie als RP^2-Beschränkung und Rotationssymmetrie in Form von Quotientenräumen ausgedrückt werden. Darüber hinaus können die Moleküle gezwungen werden, sich tangential zur Oberfläche auszurichten. Daraus ergibt sich eine orientierende Tangentialitätsbedingung, die von der Geometrie der Domäne abhängt. Zur Simulation eines solchen Modells mit einer Kombination aus Symmetrie, Längen- und Tangentialitätsbeschränkungen sind numerische Methoden erforderlich, die die Wechselwirkung zwischen Beschränkungen und Oberflächengeometrie behandeln. Jede der Nebenbedingungen sowie die Geometrie können entweder exakt hart oder näherungsweise schwach kodiert werden. In diesem Projekt untersuchen wir den Einfluss dieser Designentscheidungen auf Finite Element Schemata und deren Konvergenzverhalten. Während jeder Aspekt des Modells in der Literatur bereits separat diskutiert wurde, ist eine rigorose numerische Analyse von Finite-Elemente-Schemata für die Interaktion von mehreren Nebenbedingungen und Oberflächendiskretisierung noch nicht behandelt. Da diese Wechselwirkung sowohl die qualitative Struktur der diskreten Lösungen als auch deren Konvergenzverhalten beeinflusst, ermöglichen unsere Studien zuverlässigere Simulationen im Vergleich zu Ad-hoc-Methoden. Geometrische Finite Elemente haben sich als erfolgreiche Methode zur Diskretisierung von Funktionen mit harten Riemannschen Mannigfaltigkeits-Beschränkungen erwiesen. Die numerische Analyse dieser Methoden zeigt ein optimales Konvergenzverhalten und sie werden auf verschiedene Zielmannigfaltigkeiten angewandt. Für die Behandlung von Funktionen von Oberflächenvektorfelder müssen die Methoden in mehrere Richtungen erweitert werden. Erstens ist der Oberflächenbereich gekrümmt und trianguliert, was zu Fragen der Konformität und Konsistenz der Methode führt. Zweitens ist die Codomain der Abbildung eng an die Domäne gekoppelt, z. B. im Falle von Faserbündelbeschränkungen. Drittens erlauben die Zielmannigfaltigkeiten in den oben genannten Modellen nicht immer eine glatte Struktur was in den klassischen geometrischen Finite-Elemente-Modellen erforderlich ist. Wir erweitern die Finite-Elemente-Methoden in all diese Richtungen, kombinieren diese mit schwachen Beschränkungen durch Strafterme und wenden sie auf Modellprobleme aus dem Kontext von Flüssigkristallen an.

• DFG-Verfahren: Forschungsgruppen
• Teilprojekt zu: FOR 3013: Vector- and Tensor-Valued Surface PDEs