Analyse gekoppelter Systeme von Evolutionsgleichungen - Kopplung durch Randbedingungen und Blockstrukturen

• Antragsteller: Professor Dr. Amru Hussein
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 508634462

Gekoppelte Evolutionsgleichungen treten in einer Vielzahl von Anwendungen auf. Einige Beispiele sind Reaktionsdiffusionsgleichungen, geophysikalische Flussgleichungen, Tumorwachstumsmodelle, Thermoelastische- und Wellengleichungen, Transmissionsprobleme und Flüssigkristalle. Das Ziel dieses Projektes ist es mathematische Methoden zu entwickeln, um solche gekoppelten parabolischen quasi-linearen Evolutionsgleichungen in vektorwertigen L^q_t-L^p_x-Räumen analysieren zu können. Der Schwerpunkt liegt dabei auf 1. koppelnden Randbedingungen und 2. Kopplungen im Inneren eines Gebiets, die eine Blockstruktur aufweisen und insbesondere Systeme gemischter Ordnung mit einschließen.Die klassische Theorie für elliptische Randwertprobleme behandelt Operatoren mit einem homogenen Hauptteil gerader Ordnung, wobei die Randbedingungen eine Kompatibilitätsbedingungen wie die klassische Lopatinskii-Shapiro Bedingung erfüllen oder durch eine quadratische Form gegeben sind. Es gibt jedoch Fälle, die nicht in diesen gut verstandenen Rahmen passen. Erstens gibt es Randbedingungen, die sich bei einer partielle Integration problematisch verhalten, sowie solche für die eine Reduktion auf den Hauptteil nicht ausreichend ist. Um diese Probleme anzugehen, möchte ich neue Ergebnisse für Systeme von gewöhnlichen Differentialgleichungen, die die relevanten spektralen Eigenschaften durch die Cayley-Transformation der Randbedingungen beschreiben, auf die Situation von partiellen Differentialgleichungen übertragen. Dies sollte zu einer allgemeineren und flexibleren Lopatinskii-Shapiro Bedingung führen.Zweitens gibt es Operatoren von gemischter Ordnung deren Analyse sich nicht auf einen homogenen Hauptteil zurückziehen lässt.Solche Systeme können anstatt dessen durch Operatorfaktorisierungen, wie die bekannte Schur-Zerlegung oder die Faktorisierung, die von Nagel vorgeschlagen wurde, analysiert werden. Diese Faktorisierungen erlauben es die Informationen zu den Kopplungen einer Blockoperatormatrix mit einer Familie von Operatoren zu beschreiben. Durch diesen Ansatz können Störungssätze für große aber strukturierte Störungen bewiesen werden. In beiden Fällen sollen spektrale Eigenschaften wie die Sektorialität, R-Sektorialität und die Beschränktheit des H^\infty-Kalküls untersucht werden. Die erzielten Ergebnisse sollen dann auf konkrete Anwendungsfälle zum Beispiel aus dem Bereich der mathematischen Biologie, der Thermoelastizität und der mathematischen Fluidmechanik angewendet werden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen