Numerische Methoden für nichtlineare, zufällige und dynamische Mehrskalenprobleme

• Antragstellerin: Professorin Dr. Barbara Verfürth
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 496556642

Metamaterialien sind moderne, künstlich hergestellte Materialien, die sich durch neue, überraschende physikalische Eigenschaften auszeichnen. Deshalb spielen sie eine entscheidende Rolle bei der Kontrolle und Manipulation von Wellen, z.B. in Laseranwendungen. Metamaterialien bestehen aus feinen Strukturen mit mehreren Materialkomponenten. Die typische Länge dieser feinen Strukturen ist deutlich kleiner als die Länge des gesamten Materials. Weitere praxisrelevante Bausteine sind nichtlineare Materialgesetze und Zeitmodulation. Zuletzt ist die Robustheit der Materialeigenschaften bezüglich Fabrikationsfehlern höchst relevant. Aus mathematischer Sicht führen diese Anwendungen auf partielle Differentialgleichungen mit einer Koexistenz von vielen zeitlichen und räumlichen Skalen, Nichtlinearitäten und zufälligen Störungen. Numerische Simulationen bergen enormes Potential für das Materialdesign, da sie zeitintensive und teure Experimente ersetzen. Numerische Standardmethoden müssen aber alle feinen Materialstrukturen auflösen, was selbst mit modernsten Computern zu einem unpraktikablen Rechenaufwand führt. Dagegen liefern numerische Mehrskalenmethoden (NMM) eine makroskopische Darstellung der Lösung mittels geeignetem lokalen sog. Upscaling. Die Integration von Nichtlinearitäten, zufälligen Störungen und mehrskaligen Dynamiken erfordert jedoch aus mehreren Gründen neue numerische Paradigmen. Erstens basieren NMM oft auf linearen Argumenten, die für nichtlineare Probleme nicht gelten. Die meisten Ansätze betrachten daher eine komplizierte Kopplung nichtlinearer Probleme auf feinen und makroskopischen Skalen. Zweitens erfordern Monte-Carlo-Methoden viele Mehrskalensimulationen mit neuem aufwändigem Upscaling für jede zufällige Realisierung. Aktuelle Ansätze benötigen zumindest für die numerische Analyse zusätzlich stochastische Homogenisierungsresultate. Drittens behandeln NMM für dynamische Probleme meist ausschließlich mehrere räumliche oder mehrere zeitliche Skalen. In diesem Projekt entwickeln und analysieren wir neue NMM für nichtlineare, zufällig gestörte und dynamische Probleme. Die Hauptziele sind mit fundamentalen mathematischen und algorithmischen Herausforderungen verknüpft, die eine revolutionäre Verschmelzung von NMM, Modellreduktion, Unsicherheitsquantifizierung und Zeitintegration erfordern. Wir (a) entwickeln adaptive linearisierte und nichtlineare Approximationsräume für nichtlineare Mehrskalenprobleme, (b) vereinen Mehrskalenmethoden und Monte-Carlo-Ansätze für zufällig gestörte Probleme und (c) verbinden räumliche und zeitliche Mehrskalenmethoden für mehrskalige Dynamiken. Während unsere allgemeinen Ansätze auf eine Vielzahl von Problemen anwendbar sind, liegt ein besonderer Fokus auf Wellenphänomenen. Ferner untermauern wir alle Methoden mit Fehlerabschätzungen, was jenseits des experimentell validierten Regimes essentiell ist. Letztlich wird dieses Projekt völlig neue NMM für realistische (Metamaterial-)Anwendungen erschließen.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen