Kokommutative Koalgebren

• Antragsteller: Professor Dr. Ulrich Krähmer
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 496523143

Viele Konzepte und Resultate der Mathematik lassen sich in der Sprache der Kategorientheorie verallgemeinern oder zusammenfassen. Objekte geometrischer Natur (z.B. Mengen oder Mannigfaltigkeiten) formen hierbei oft kartesische Kategorien, d.h. vereinfacht gesagt Kategorien, in denen ein natürliches Produkt von je zwei Objekten gegeben ist. In Algebra und Darstellungstheorie hingegen spielen abelsche Kategorien eine zentrale Rolle, in denen z.B. Kerne von Morphismen oder Quotienten von Objekten nach Unterobjekten definiert sind.Kartesische Kategorien lassen sich jedoch auch als symmetrisch monoidale Kategorien charakterisieren, in denen jedes Objekt kanonisch eine kokommutative Koalgebra (Komonoid) ist. Ausgehend von einer Kategorie C wie den Vektorräumen über einem Körper k lassen sich also kartesische Kategorien konstruieren, indem man die kokommutativen Koalgebren in C (oder C^op) studiert. Auf diese Weise entsteht z.B. die kartesische Kategorie der affinen Schemata über k.Das wesentliche Ziel dieses DFG-Erstantrags ist es, einige Konzepte und Resultate aus Algebra und Geometrie von diesem Standpunkt aus neu zu beleuchten, wie z.B.1. Racks abstrahieren die Konjugationswirkung einer Gruppe auf sich in Abwesenheit eines assoziativen Produktes. Es ergeben sich Bezüge u.a. zur Theorie der symmetrischen Räume und der Knotentheorie. Carter, Crans, Elhamdadi und Saito definierten eine Deformationstheorie für Racks. Ein Ziel dieses Projektes ist die Entwicklung einer Kohomologietheorie von Racks in Kategorien wie den oben beschriebenen.2. Klone sind abstrakte Systeme von mehrstelligen Operationen, die unter anderem in der Komplexitätstheorie und universellen Algebra studiert werden, meist im Fall endlicher Mengen. Ein Studium in allgemeinen kartesischen Kategorien wurde u.a. von Hyland vorgeschlagen. Ähnlich wie in 1. interessieren wir uns hier für Fragen homologischer Natur. Eine konkrete wäre, ob Deformationen von Klonen in einer geeigneten Kategorie mit den Resultaten von Merkulov und Vallette zur Deformationstheorie von Darstellungen von PROPs studiert werden können.3. Hopfalgebren sind per Definition spezielle Algebren in einer Kategorie von Koalgebren, werden aber selten so betrachtet. Ein klassisches Resultat ist hier der Satz von Milnor und Moore zur Klassifikation bestimmter kokommutativer Hopfalgebren. Dessen Beweis von Cartier verwendet Techniken aus der algebraischen Topologie (\Lambda-Ringe), die in weit größerer Allgemeinheit anwendbar sein sollten. Ein Ziel wäre eine möglichst allgemeine Formulierung dieses Beweises, die den unlängst von Moerdijk und Mrcun separat betrachteten Fall kokommutativer Hopfalgebroide mit erfasst In allen drei Punkten erhoffen wir uns ferner Bezüge zur Theorie der punktierten Hopfalgebren und Nicholsalgebren, in denen die kokommutativen Koalgebren nicht in symmetrisch monoidalen Kategorien leben, sondern in monoidalen Kategorien, die nur ein Braiding besitzen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen