Topologische Quantenfeldtheorie in mehr als drei Dimensionen

• Antragsteller: Dr. David Jakob Reutter
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 493608176

Im Kern geht es bei diesem Projekt um das Zusammenspiel von höherer Kategorientheorie, Darstellungstheorie, der Topologie von Mannigfaltigkeiten, Homotopietheorie und mathematischer Physik. Am deutlichsten tritt dieses Zusammenspiel in der Theorie der topologischen Quantenfeldtheorien (TQFT) zu Tage. Quantenfeldtheorie ist die Sprache der modernen Physik, und ihr Verständnis ist eine der bedeutendsten Herausforderungen der Mathematik. Topologische Quantenfeldtheorien stellen die wohl einfachste Art von Quantenfeldtheorien dar. Sie hängen nur von globalen, topologischen Aspekten der Raumzeit ab, weisen aber dennoch bereits viele der subtilen, definierenden Merkmale einer vollständigen Quantenfeldtheorie auf und spielen daher eine wichtige Rolle in der mathematischen Physik.In der reinen Mathematik führen topologische Quantenfeldtheorien zu einer eindrucksvollen Vereinheitlichung von Mannigfaltigkeitstopologie und (höher kategorieller) Algebra: Aus jeder TQFT resultiert eine Mannigfaltigkeitsinvariante, die explizit durch ein `Schneide-und-Klebe’ Verfahren berechenbar ist. Umgekehrt ermöglichen topologische Feldtheorien die Übertragung von Methoden und Resultaten aus dem Studium niedrigdimensionaler Mannigfaltigkeiten auf rein algebraische Probleme. Dieses Projekt konzentriert sich hauptsächlich auf algebraische und topologische Aspekte von Feldtheorien in vier und mehr (Raumzeit-)Dimensionen, die linear algebraischer, oder darstellungstheoretischer Natur sind. Solche linearen 4-dimensionalen Feldtheorien haben neben ihrer Relevanz für die Physik der kondensierten Materie das Potential neue Verbindungen zwischen Mannigfaltigkeiten und Darstellungstheorie aufzudecken und zu explizit berechenbaren Mannigfaltigkeitsinvarianten zu führen.Das erste Hauptziel dieses Projekts ist die Entwicklung einer Theorie der höheren Fusionskategorien, die deren Rolle als Grundbausteine einer ``Quanten-Homotopietheorie’’ verdeutlicht, und die Anwendung dieser Theorie auf offene Probleme der Quantenalgebra und Darstellungstheorie. Das zweite Hauptziel besteht darin, die entsprechenden topologischen Feldtheorien zu studieren und sie hinsichtlich ihrer Sensitivität gegenüber Mannigfaltigkeitstopologie, insbesondere glatter Struktur, genau zu charakterisieren. Aufbauend auf den Resultaten dieser zwei Forschungsziele, ist das dritte Hauptziel die Konstruktion einer 4-dimensionalen Feldtheorie, die sensitiv gegenüber orientierten glatten Strukturen ist.

• DFG-Verfahren: Emmy Noether-Nachwuchsgruppen