Die Robustheit von periodischen Mustern in neuem Licht: Nichtlineare Stabilität von modulierten periodischen Wellen in einem reinen L^infty-Rahmen

• Antragsteller: Dr. Björn de Rijk
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 491897824

Unser Ziel ist die Entwicklung neuer mathematischer Methoden, welche die Untersuchung der nichtlinearen Stabilität und des Verhaltens von periodischen Wellen in musterbildenden Systemen auf räumlich unbeschränkten Gebieten erlaubt. Im Gegensatz zum aktuellen Stand der Technik benötigt unsere vorgeschlagene Methodik keine Lokalisierungs- oder Periodizitätseigenschaften der Störungen. Stattdessen setzen wir nur voraus, dass die Störung und hinreichend viele ihrer Ableitungen klein bezüglich der Supremumsnorm sind. Daher erwarten wir, dass es uns möglich ist die nichtlineare Stabilität solcher Lösungen für deutlich größere Klassen von Anfangsbedingungen zu zeigen. Insbesondere erlaubt unser Ansatz die systematische Behandlung von nicht-lokalisierten Modulationen der Wellenzahl, was eine seit Jahrzehnten offene Fragestellung ist. Unsere antizipierten Resultate zeigen, dass modulierte periodische Muster robuster sind als bisher angenommen, da gänzlich auf Lokalisierungs- und Periodizitätsvoraussetzungen wie sie in jeder aktuellen Publikation verwendet werden, verzichtet werden kann.Die Schwierigkeit in einem reinen L^infty-Rahmen ist es, das nichtlineare Schema zu schließen, da die Linearisierung um die periodische Welle kontinuierliches Spektrum besitzt, welches auf Grund der Translationsinvarianz bis an den Ursprung reicht. Daher weißt auf der linearen Ebene das System diffusives Verhalten auf und ein Abfallen in L^infty-Räumen kann nicht erwartet werden. Wir gehen diese Schwierigkeit an, indem wir das System zuerst in Phasen- und Amplitudenvariable unterteilen, wobei die Phasenvariable die kritische Translationsmode enthält und für die Amplitudenvariable ein schnelleres Abfallverhalten erwartet wird. Man beobachtet, dass die Phasenvariable nur als Ableitung in die Nichtlinearität der Störungsgleichung eingeht. Wir planen diese Beobachtung auszunutzen und die Argumentationskette zu schließen, indem wir die Glättungseigenschaften ausnutzen, die durch den kritischen Teil des Spektrums induziert werden. Ableitungen von beschränkten Funktionen fallen in der Zeit mit algebraischen Raten ab, wenn die diffusive Halbgruppe auf sie angewandt wird. Die skalare Gleichung für die kritische Phasenvariable ist von der Gestalt einer gestörten, viskosen Hamilton-Jacobi-Gleichung. Deren Dynamik muss, in Abwesenheit von zusätzlichen Symmetrien, durch Einsatz des Maximumsprinzips oder der Cole-Hopf-Transformation kontrolliert werden. Unser schlussendliches Ziel ist es die entwickelten Techniken auf kompliziertere Situationen anzuwenden, in denen mehrere kritische Moden auftreten, zum Beispiel im Fall von zusätzlichen Erhaltungsgleichungen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Mitverantwortlich: Professor Dr. Guido Schneider