Störungsmethoden für abstrakte Cauchyprobleme von Evolutionsgleichungen

• Antragsteller: Dr. Christian Budde
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung in 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 468736785

In diesem Projekt studieren wir die Störungstheorie für abstrakte Cauchy-Probleme von Evolutionsgleichungen. Viele bekannte partielle Differentialgleichungen, die physikalische Systeme modellieren, wie die Wärmegleichung, die Schrödinger-Gleichung oder die Wellengleichung, verwenden zeitliche Zustandsänderungen. "Evolutionsgleichungen" ist ein Überbegriff für solche Gleichungen, die als Differentialgesetze interpretiert werden können, die die Entwicklung eines Systems in der Zeit beschreiben. Durch die Modellierung von Systemen, die sich in der Zeit entwickeln, spielt die Zeitvariable eine entscheidende Rolle, da die Gleichungen erstellt werden, indem die zeitliche Änderung des Systems gegen sein "räumliches" Verhalten abgewogen wird. Indem man eine Lösung einer Evolutionsgleichung findet, hat man die Möglichkeit, die Zukunft des entsprechenden physikalischen Systems vorherzusagen, was es deterministisch macht.In einer idealen Welt wäre es möglich, eine genaue Lösung eine gegebene Gleichung zu finden, da die Entwicklung des Systems explizit angegeben ist. Dies wäre in der Praxis von Vorteil. Die meisten wirklich interessanten Gleichungen lassen jedoch eine solche Lösung nicht zu. Jedoch ist die Untersuchung der Existenz von Lösungen, ihrer Eindeutigkeit sowie ihrer qualitativen Eigenschaften eine teilweise Berechtigung der verwendeten Modelle und bietet auch eine Grundlage für die numerische Analysis der Gleichungen, die wiederum in der Praxis wichtig ist. Die Störungstheorie ist in dieser Hinsicht ein mächtiges Werkzeug und ermöglicht eine allgemeinere und abstraktere Sicht auf solche Probleme. Die allgemeine Idee besteht darin, mit einem verwandten und einfacheren Problem zu beginnen, bei dem die genaue Lösung bereits bekannt ist.Einerseits untersuchen wir autonome dynamische Systeme. Wir werden nicht nur C_0-Halbgruppen betrachten, sondern auch nicht stark kontinuierliche Halbgruppen oder Halbgruppen auf Vektorverbänden mittels bi-kontinuierlicher Halbgruppen bzw. ru-kontinuierlicher Halbgruppen. Andererseits betrachten wir auch zeitabhängige und somit nicht-autonome dynamische Systeme unterschiedlicher Ordnung.

• DFG-Verfahren: WBP Stipendium
• Internationaler Bezug: Südafrika
• Gastgeber: Professor Dr. Jacek Banasiak