Entkoppelnde numerische Methoden höherer Ordnung für poroelastische Netzwerke

• Antragsteller: Professor Dr. Robert Altmann; Dr. Benjamin Unger
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 467107679

Poroelastische Gleichungen spielen eine zentrale Rolle in zahlreichen Anwendungsfeldern wie der Geomechanik oder der Biomedizin. Modelliert man beispielsweise die Verformung von Gehirngewebe, so sind mehrere Druckvariablen von Nöten, was auf ein poroelastisches Netzwerk führt. Das dazugehörige Modell wird beschrieben durch ein gekoppeltes System elliptisch-parabolischer Differentialgleichungen, welches gerade im drei-dimensionalen Fall sehr rechenintensiv ist. Die direkte Anwendung von Standardmethoden bildet daher selbst für moderne Rechner eine große Herausforderung. Dieses Projekt hat das Ziel, neuartige und hoch effiziente Zeitdiskretisierungsverfahren höherer Ordnung zu entwickeln und somit die numerische Approximation zu erleichtern. Dabei soll die Einfachheit monolithischer Ansätze mit der Geschwindigkeit iterativer Verfahren, die das Problem in den elliptischen und parabolischen Teil entkoppeln, kombiniert werden. Da die Ortsdiskretizierung poroelastischer Gleichungen auf eine Differential-Algebraische Gleichung führt, stellt die erforderliche Konvergenzanalyse ein herausforderndes Unternehmen dar. Die neu entwickelten Verfahren sind semi-explizit und erweitern einen kürzlich vorgestellten Ansatz der Antragsteller auf den nichtlinearen Fall. Die Konvergenzanalyse basiert auf der Interpretation der semi-expliziten Diskretisierung als implizite Diskretisierung einer verwandten Gleichung mit zeitverzögertem Term. Dabei entspricht die Verzögerung genau der Zeitschrittweite. Ferner werden Verfahren höherer Ordnung durch die Verbindung zu entsprechenden Gleichungen mit multiplen Zeitverzögerungen konstruiert. Die Implementierung und Analyse adaptiver Zeitschritte verbessert zusätzlich die Effizienz der Methoden. Ein zentraler Faktor für die Konvergenz der einzelnen Verfahren ist eine Schwache-Kopplungs-Bedingung, die im direkten Zusammenhang mit der asymptotischen Stabilität der dazugehörigen Gleichung mit Zeitverzögerung steht. Die genaue Analyse dieser Beziehung ist ein wesentlicher Bestandteil des Projekts. Genauer wird die Äquivalenz zwischen der Konvergenz semi-expliziter Verfahren und der asymptotischen Stabilität von neutralen Gleichungen mit zeitverzögertem Term untersucht. Zudem wird die Regularität der Lösung dieser Gleichungen unter minimalen Voraussetzungen an die Daten analysiert. Insgesamt ist das Projekt eine synergistische Kollaboration der zwei Antragssteller und deren ergänzenden Expertisen in den Bereichen der Zeitdiskretisierung gekoppelter partieller Differentialgleichungen und zeitverzögerten Differential-Algebraischen Gleichungen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen