Schnelle Cut-Discontinuous-Galerkin-Verfahren für Strömungen und oberflächengekoppelte Mehrfeldprobleme

• Antragsteller: Professor Dr. Martin Kronbichler; Professor Dr.-Ing. Wolfgang A. Wall
• Fachliche Zuordnung: Strömungsmechanik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 456365667

Im Rahmen des vorgeschlagenen Projektes soll ein neuer Löser für Strömungen sowie oberflächengekoppelte Mehrfeldprobleme entwickelt werden, der unstetige Galerkin-Verfahren (DG) hoher Ordnung für die räumlichen Diskretisierung mit CutFEM-Ansätzen verbindet. Für die Darstellungen von komplexen Strömungen sind DG-Verfahren hoher Ordnung effizienter als traditionelle Verfahren niedriger Ordnung, besonders bei unteraufgelösten turbulenten Strömungen, und zeichnen sich durch sehr kleine Dispersions- und Dissipationsfehler aus. Gleichzeitig sorgen angepasste numerische Flüsse, welche entlang der Flussrichtung ausgerichtet sein können (Upwinding), für Robustheit. Die CutFEM-Technologie ermöglicht es, diese vorteilhaften Eigenschaften auf eine größere Klasse von Problemen zu übertragen, wenn das Rechengitter nicht mit dem Rand des (möglicherweise bewegten) Strömungsgebietes ausgerichtet ist. Die vorgeschlagenen Verfahren vereinfachen nicht nur die Gitterzeugung, sondern ermöglichen vor allem die Simulation von gekoppelten Mehrfeldproblemen, wenn sich die Geometrien stark verformen oder topologischen Änderungen unterworfen sind, wie etwa bei der Fluid-Struktur-Wechselwirkung. Dank ihrer Konstruktion behalten CutFEM-Verfahren die volle Genauigkeit bis an den Rand des Rechengebietes, wodurch sie für Probleme mit starker Interface-Dynamik den verwandten eingebettenen (immersed) Verfahren deutlich überlegen sind. Bisher sind CutFEM-Verfahren nur für finite Elemente niedrigen Polynomgrades verfügbar. Im Rahmen dieses Antrages wird die mathematische Theorie auf DG-Verfahren hoher Ordnung erweitert mit dem Ziel des Einsatzes für Mehrfeldprobleme. Um explodierende Konditionszahlen durch kleine abgeschnittene Restelemente, welche sich aus der dem Gitter überlagerten tatsächlichen Rechenränder ergeben, zu vermeiden, wird eine Ghost-Penalty-Stabilisierung vorgeschlagen und durch inverse Abschätzungen und Stabilitätsbeweise auf Polynomräume hoher Ordnung erweitert. Die Entwicklung der Theorie erfolgt zunächst für die inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. Im Zuge der theoretischen Arbeiten werden außerdem problemspezifische iterative Lösungsverfahren entwickelt, welche den Einsatz auf modernsten Höchstleistungsrechner erlauben. Ein besonderes Augenmerk liegt auf Mehrgitterverfahren mit Vergröberung über den Polynomgrad p (p-Mehrgitter) kombiniert mit algebraischen Mehrgitterverfahren auf Funktionsräumen mit niedrigem Polynomgrad. Die Mehrgitterverfahren werden mit Glättern basierend auf matrixfreier Auswertung von diskretisierten Differentialoperatoren mittels sog. Summen-Faktorisierung ausgestattet, welche auf regulären Gittern optimale Rechenkosten aufweisen, und entsprechend auf geschnittene Elemente erweitert. Die vorgeschlagenen Verfahren erlauben wesentlich detailreichere Simulationen, welche gleichzeitig effizienter arbeiten, in einem breiten Spektrum an Anwendungen im Ingenieurbereich sowie biomechanischen Anwendungen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Großbritannien, Norwegen, USA
• Kooperationspartner: Professor Erik Burman; Dr. Andre Massing, Ph.D.; Professor Raymond S. Tuminaro, Ph.D.