Geometrische Evolutionsgleichungen vierter Ordnung mit nichtlinearen Randbedingungen

• Antragsteller: Dr. Michael Gößwein
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 442279986

In Rahmen des Projekts studieren wir die Bewegung von Oberflächen mit freien Rändern oder mit Kontakt zu einer externen Grenzfläche. Ein typisches Beispiel für diese Art von Geometrie ist das Aufeinandertreffen von drei Flächen in einem gemeinsamen Rand, wie zum Beispiel bei einem Mercedes-Benz Stern. Man spricht hierbei von Tripelpunkten bzw. Tripellinien in höheren Raumdimensionen. Dies tritt in vielen Anwendungen wie zum Beispiel Schäumen, Zellstrukturen und Korngrenzen auf. Die Bewegung der Oberflächen wird in unserem Vorhaben dabei durch Varianten des sogenannten Oberflächendiffussionsflusses, einem Bewegungsgesetz basierend auf der Krümmung der Oberflächen, vorgegeben. Dieses Modell hat seinen Ursprung in der Modellierung von erhitzten Polykristallen. In der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts wurde bereits viel Forschung zu der Bewegung von Oberflächen ohne Rand getan. Die Situation mit Rändern ist allerdings noch wenig erforscht und es gibt viele offene Fragen.Unser Projekt verfolgt vier große Ziele. Zunächst einmal soll ein bereits bestehendes Existenzresultat für Flächen mit Tripellinien verbessert werden. Hierbei geht es vor allem um die Abschwächung der Annahmen an die Anfangsbedingungen und den Beweis der Eindeutigkeit der Lösung. Letzteres ist für die meisten Bewegungen höherdimensionaler geometrischer Objekte noch offen. Im zweiten Teil wollen wir das Langzeitverhalten des Problems studieren. Der Oberflächendiffussionsfluss ist bekannt dafür in endlicher Zeit Singularitäten zu entwickeln. Die Frage besteht nun darin, solche Singularitäten zu charakterisieren und Bedingungen zu finden, um diese auszuschließen. Außerdem wollen wir uns mit der Existenz von selbstähnlichen Lösungen beschäftigen. Dies sind Lösungen, die unter geeigneter Skalierung in Raum und Zeit sich nicht verändern. Deren Auftreten erwarten wir physikalisch gesehen immer dann, wenn das Probleme keine spezifische Orts- oder Zeitskala hat.Schließlich wollen wir noch die Kopplung des Oberflächendiffusionsflusses mit dem sogenannten mittleren Krümmungsfluss untersuchen. Die Motivation besteht hierbei darin, dass in vielen Situation sich nur die äußeren Flächen nach Oberflächendiffusion bewegen, die inneren dagegen typischerweise nach dem mittleren Krümmungsfluss.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Japan
• Gastgeber: Professor Dr. Yoshikazu Giga