Spinobstruktionen zu Metriken positiver Skalarkrümmung auf Nichtspinmannigfaltigkeiten

• Antragsteller: Dr. Simone Cecchini
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 441895604

Eine vielstudierte Fragestellung der Differentialgeometrie der letzten Dekaden beschäftigte sich mit Hindernissen zur Existenz von Riemannschen Metriken positive Skalarkrümmung auf einer glatten Mannigfaltigkeit. Für eine geschlossene Spinmannigfaltigkeit ergeben sich die stärksten dieser Obstruktionen aus der Indextheorie des Spin-Dirakoperators. Eine fundamentale Einschränkung ist dass dies nur für Spinmannigfaltigkeiten anwendbar ist.Das Hauptziel dieses Projekts ist es, die Diracoperator-Methode auf Fälle zu erweiteren wenn die Mannigfaltigkeit keine Spinstruktur zuläßt. Wir untersuchen insbesondere die folgende Situation: M sei eine geschlossene orientierte Riemannsche Mannigfaltigkeit und V in M eine geschlossene Untermenge welche das Poincaré-Duale der zweiten Stiefel-Whitneyklasse repräsentiert. Eine topologische Invariante sei außerhalb von V getragen, konkret seien zwei Bündel E_0,E_1 mit isomorpher typischer Faser gegeben, welche im Inneren einer berandeten Mannigfaltigkeit L\subset M getragen sind. Das Doppel D von L ist dann eine geschlossene Spinmannigfaltigkeit mit Bündel E erhalten durch Verkleben von E_0 auf der einen und E_1 auf der anderen Hälfte von D. Unsere topologische Invariante ist der Index des Spin-Diracoperators auf dem Doppel getwisted mit dem Bündel E. Hauptfrage unseres Projekts ist ob, zumindest under geeigneten Bedingungen, dieser Index eine Obstruktion zur Existenz einer Metrik mit positiver Skalarkrümmung auf M ist. Insbesondere wollen wir zusammenhängende Summe M_1 mit M_2 betrachten, mit M_1 einer geschlossenen Spinmannigfaltigkeit welche die Dirac-Obstruktion trägt.Wenn V eine geschlossene Untermannigfaltigkeit der Kodimension 2 ist, wollen wir eine Indextheorie entwickeln, welche es erlaubt die Information getragen auf L in einem geeigneten Operator auf dem Komplement von L in M zu kodieren. Um den Diracoperator nahe V zu analysieren wollen wir Ideen von Degeratu und Stern benutzen um, zumindest unter geeigneten Bedingungen, ein Verschwindungstheorem zu etablieren.Die Indextheorie welche wir für nicht-Spin Mannigfaltigkeiten entwickeln wollen hat auch Anwendungen auf Spin-Mannigfaltigkeiten. Insbesondere steht sie in Bezug zu zwei Fragen, welche Gromov in seiner neuesten Arbeit stellt. Diese fragen nach der Existenz von vollständigen Metriken von (nicht notwendigerweise uniform) positiver Skalarkrümmung nicht-kompakten beziehungsweise berandeten Mannigfaltigkeiten wenn es eine geeignete Kontrollabbildung zur Sphäre gibt. Diese Fragen sollen unter zunächst für Spin-Mannigfaltigkeiten untersucht werden.Weiteres Ziel des Projekts ist das Studium flächenvergrößerbarer Metriken für Mannigfaltigkeiten ohne Spinstrutkur. Gromov und Lawson zeigen, dass Spin-Mannigfaltigkeiten keine vollständige flächenvergrößerbare Metrik mit uniform positiver Skalargkrümmung tragen. Um dies auf den Nicht-Spin Fall zu übertragen, soll ein Ansatz entwickelt werden, welcher Diracmethoden mit minimalen Hyperflächen kombiniert.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen