Die Cassels-Tate-Paarung für Jacobische Varietäten

• Antragsteller: Professor Dr. Michael Stoll
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 431476419

Dieses Projekt zielt auf die Verbesserung und Erweiterung von Methoden zur Lösung von Gleichungen der Form y^2 = f(x) in ganzen oder rationalen Zahlen, wobei f ein Polynom vom Grad 5 oder 6 mit rationalen Koeffizienten und ohne mehrfache Nullstellen ist. Dies ist äquivalent zur Bestimmung der ganzzahligen oder rationalen Punkte auf der durch die Gleichung definierten Kurve. Kurven dieser Art sind Kurven vom Geschlecht 2. Ein Ergebnis von Faltings besagt, dass eine Kurve vom Geschlecht mindestens 2 nur endlich viele rationale Punkte haben kann. Allerdings lässt sich aus keinem der bekannten Beweise ein Algorithmus ableiten, der diese endliche Menge bestimmt. Es ist also eine interessante Frage, ob es einen solchen Algorithmus gibt; Kurven vom Geschlecht 2 bieten sich besonders an, diese Frage zu studieren. Es gibt verschiedene Methoden, die in der Praxis funktionieren, wenn gewisse Bedingungen erfüllt sind. Die meisten dieser Methoden beruhen darauf, dass die Kurve in ihre Jacobische Varietät eingebettet werden kann. Diese ist eine abelsche Varietät, trägt also die Struktur einer Gruppe. Um diese Einbettung ausnutzen zu können, müssen wir genug über die Gruppe der rationalen Punkte auf der Jacobischen wissen. Diese Gruppe, die die Mordell-Weil-Gruppe genannt wird, kann durch die Angabe endlich vieler Erzeuger beschrieben werden. Die entscheidende Größe, die uns interessiert, ist der sogenannte Rang: Die Anzahl der unabhängigen Erzeuger. Um den Rang zu bestimmen, können wir einerseits nach Punkten auf der Jacobischen suchen und prüfen, inwieweit diese Punkte unabhängig sind. Auf diese Weise erhalten wir eine untere Schranke für den Rang. Wir erhalten eine obere Schranke, indem wir sogenannte Selmer-Gruppen berechnen. Das sind endliche abelsche Gruppen, in die sich die Mordell-Weil-Gruppe abbildet; daher liefert die Ordnung der Selmer-Gruppe(n) eine Schranke für den Rang. Diese Schranke ist aber nicht immer scharf; daher ist es wichtig, sie falls möglich verbessern zu können. Dies kann dadurch geschehen, dass man den Kern der sogenannten Cassels-Tate-Paarung bestimmt; das ist eine bilineare Abbildung auf der Selmer-Gruppe. Dieser Kern enthält das Bild der Mordell-Weil-Gruppe. Ist die Paarung nichttrivial, dann bekommen wir so eine bessere Schranke. Um den Kern zu bestimmen, müssen wir die Paarung auf Paaren von Erzeugern der Selmer-Gruppe berechnen. Dieses Projekt hat das Ziel, einen praktikablen Algorithmus für die Berechnung der Paarung zu entwickeln. Wenn wir einen solchen Algorithmus zur Verfügung haben, dann können wir ihn benutzen, um bessere Schranken für den Rang zu finden und auf diese Weise den Rang in vielen Fällen zu bestimmen, in denen das bisher nicht möglich ist. Das hat dann Anwendungen auf die Bestimmung der rationalen Punkte der Kurve, aber auch auf andere Fragen im Zusammenhang mit Kurven vom Geschlecht 2.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen