Ratenunabhängige Evolution von Platten mit Vorspannung

• Antragsteller: Professor Dr. Stefan Neukamm; Professor Dr. Oliver Sander
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 417223351

Vorspannungen haben einen großen Einfluss auf das mechanische Verhalten von dünnen elastischen Platten und Filmen. Sie sind Resultat verschiedener physikalischer Mechanismen und können durch unterschiedliche Stimuli getriggert werden. Aus diesem Grund sind sie für das Design funktionaler Materialien mit kontrollierter Formänderung von Bedeutung. Die relevanten Längenskalen reichen hierbei vom (Sub-)Millimeterbereich bei Polymerfilmen bis zu mehreren Metern bei großen Verbundstrukturen. Ein Beispiel für Letztere sind selbstformende Holzverbünde, die derzeit für komplexe, frei geformte Holzarchitekturen relevant werden. In der vergangenen Förderperiode haben wir elastische Verbundplatten mit mikroheterogener Vorspannung untersucht. Aus dreidimensionalen, nichtlinearen Elastizitätsmodellen wurden homogenisierte Biegeplattenmodelle mit effektiver Vorspannung hergeleitet. Letztere führen zu spontaner Biegung der Platte und nicht-flachen Formen im Gleichgewichtszustand, die in komplexer Weise von der Spezifikation des dreidimensionalen Verbundwerkstoffs abhängen. In der ersten Förderperioide haben wir diese "Mikrostruktur-Form-Relation" durch die Kombination numerischer und analytischer Methoden analysiert, wobei die Vorspannung eine feste, vorgeschriebene Größe war. In der zweiten Förderperiode werden wir eine Vorspannung betrachten, die durch eine zusätzliche Feldvariable bestimmt wird, die einem zusätzlichen konstitutiven Gesetz gehorcht. Wir werden sowohl variationelle, statische Gleichgewichtsprobleme als auch Modelle betrachten, die einer ratenunabhängige Dynamik gehorchen und eine multiplikative Zerlegung des Deformationsgradienten beinhalten. Wir werden uns auf zwei repräsentative Modelle konzentrieren, nämlich ein Modell für das Quellen von Materialien (insbesondere mit Blick auf den Trocknungsprozess von sich selbst-formenden Bihölzern) und endliche Elasto-Plastizität. Ziele sind die rigorose Herleitung effektiver, statischer und zeitabhängiger Plattenmodelle mit reduzierter Komplexität durch (evolutionäre) Gamma-Konvergenz aus dreidimensionalen Modellen. Weiter werden wir zuverlässige numerische Methoden entwickeln, um die reduzierten Modelle zu simulieren. Darüber hinaus werden wir das komplexe, mechanische Verhalten der Modelle durch Kombination von analytischen und numerischen Methoden untersuchen.

• DFG-Verfahren: Forschungsgruppen
• Teilprojekt zu: FOR 3013: Vector- and Tensor-Valued Surface PDEs