Zur Kohomologie von Komplementen von komplexen Spiegelungsarrangements

• Antragsteller: Professor Dr. Gerhard Röhrle
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 429482547

Die Theorie der Hyperebenenarrangements ist seit vielen Jahren eine treibende Kraft in der Reinen Mathematik. Sie betrifft Fragestellungen in Algebra, Kombinatorik, Algebraischer Geometrie, Darstellungstheorie und Topologie. Die hier vorgestellten Forschungsvorhaben liegen an der Schnittstelle dieser Themenbereiche. In den vergangenen Jahren wurden tiefe und bemerkenswerte Verbindungen entdeckt zwischen der Topologie des Komplementes M(A) eines Arrangements A, der Freiheit des Moduls D(A) der Derivationen von A, und der Kombinatorik des Schnittverbandes L(A) von A, der aus den Teilräumen besteht, die aus Schnitten von Hyperebenen aus A hervorgehen.Insbesondere das Studium der Komplemente von komplexen Hyperebenenarrangements kann auf eine lange und reiche Geschichte zurückblicken und ist bis heute ein außerordentlich aktives Forschungsgebiet.Oftmals wurden Fragestellungen in der Theorie der Hyperebenenarrangements, die sich auf Spiegelungsarrangements A(W) beziehen, wobei A(W) aus den Spiegelungshyperebenen der zugrundeliegenden Spiegelungsgruppe W bestehen, zunächst für symmetrische Gruppen gestellt. Diese wurden dann auf alle endlichen Coxetergruppen erweitert, um schließlich die Klasse aller komplexen Spiegelungsgruppen zu umfassen. Ein besonders bemerkenswertes Beispiel dieses Phänomens findet sich in der Frage nach der Topologie des Komplementes M(A) der Vereinigung der Hyperebenen in dem Spiegelungsarrangement A(W) einer komplexen Spiegelungsgruppe W, die nach einer mehr als 50 Jahre dauernden Entwicklung von Bessis 2015 zum Abschluss gebracht werden konnte.In diesem Forschungsvorhaben durchschreiten wir eine vergleichbare Route in Bezug auf Fragen nach der Kohomologie des Komplementes eines komplexen Spiegelungsarrangements. In einer aktuellen Arbeit mit Douglass und Pfeiffer konnten wir die Untersuchungen von Brieskorn über die Kohomologie des Komplementes eines Coxeterarrangements verfeinern. Als Konsequenz konnten wir eine Vermutung von Felder und Veselov von 2005 über die Struktur der W-Invarianten der Orlik-Solomon-Algebra einer endlichen Coxetergruppe W bestätigen.Eines der Ziele dieses Forschungsvorhabens ist es, die analoge Fragestellung der Vermutung von Felder und Veselov für die allgemeinere Klasse von komplexen Spiegelungsgruppen zu untersuchen.Für eine symmetrische Gruppe W haben Lehrer und Solomon 1986 gezeigt, dass sich die Darstellung von W auf der Orlik-Solomon-Algebra von W als eine Summe von induzierten linearen Charakteren von Zentralisatoren von Elementen in W darstellen lässt. Sie haben vermutet, dass es eine solche Zerlegung für beliebige endliche Coxetergruppen gibt. In einer Reihe von gemeinsamen Arbeiten mit Douglass und Pfeiffer konnten wir zeigen, dass eine Verfeinerung der Vermutung für alle irreduziblen Coxetergruppen W bis Rang 8 gilt. In unserem zweiten Forschungsprojekt untersuchen wir das Analogon der Vermutung von Lehrer-Solomon für die allgemeinere Klasse von komplexen Spiegelungsgruppen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Irland, USA
• Kooperationspartner: Professor Dr. James Douglass; Professor Dr. Götz Pfeiffer