Stabilitätsanalyse von nichtlokalen Operatoren und Anwendungen auf Sprungprozesse

• Antragsteller: Professor Dr. René Leander Schilling
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 426577679

Viele im Alltag vorkommende Phänomene können als Transportprobleme von Teilchen interpretiert werden. Dabei kann der Transport stetig, d.h. diffusiv, sein - man denke an die erratischen Bewegungen von in einem Medium suspendierten Pollen (d.h. eine Brownsche Bewegung) oder unstetig, wobei Sprünge oder ruckartige Bewegungen betrachtet werden. Letzteres kommt z.B. bei trapping oder tunneling-Effekten vor. Ein anderes typisches Beispiel für diskontinuierliche Bewegungen sind Systeme mit endlich vielen Zuständen oder Systeme, für die nur endlich viele Beobachtungen vorliegen – hier ist eine stetige Betrachtungsweise unnatürlich. Es gibt zahlreiche Argumente, dass viele Phänomene der physischen Welt (Wetter, Aktienkurse usw.) diskontinuierlich ablaufen. Aus mathematischer Sicht kann man sog. Levy-typ Prozesse verwenden, die stetige Diffusionsprozesse dahingehend verallgemeinern, daß sie einerseits Sprünge zulassen und andererseits ein Verhalten aufweisen, das vom lokalen Zustand des Systems abhängt.In diesem Projekt wollen wir mit Hilfe eines abstrakten aber flexibel einsetzbaren mathematischen Apparats grundlegende Eigenschaften von Sprungprozessen beschreiben und dabei auftretende Schwierigkeiten behandeln. Insbesondere geht es uns um eine vereinheitlichende Behandlung verschiedener komplexer Phänomene. Wir werden sehen, dass die Vorgabe des Sprungverhaltens nicht notwendig ein stochastisches System (eindeutig) charakterisiert. Daher benötigen wir zunächst Existenzresultate ehe wir qualitative und quantitative Eigenschaften der Prozesse untersuchen können bzw. die Prozesse in einer Modellierung verwenden können.Bei den Anwendungen konzentrieren wir uns auf (i) inner-mathematische Anwendungen zu qualitativen Aussagen über die Prozesse (Kehren die Prozesse zum Startpunkt zurück? Wie schnell bewegen sich die Teilchen? Können wir Trends vorhersagen?), aber auch auf (ii) Ergodizität (ist die kurzzeitige Beobachtung vieler Teilchen genauso effektiv wie die langfristige Beobachtung eines Teilchens?) die offensichtlich in Experimenten eine wichtige Rolle spielt und auf (iii) angewandte Fragestellungen zur Statistik und Approximation (Simulation) von Prozessen.Ein Alleinstellungsmerkmal unseres Vorhabens ist die Verbindung von tiefgehenden Methoden aus dem Bereich der partiellen Differentialgleichungen und der Theorie der Lévy-Typ Prozesse. Unsere beiden Arbeitsgruppen an der TU Wroclaw (Bogdan – Analysis und analytische Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie) und TU Dresden (Schilling – Stochastik der Sprungprozesse und stochastische Analysis) sind in diesen Gebieten international ausgewiesen und ergänzen sich nahezu ideal.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Internationaler Bezug: Polen
• Partnerorganisation: Narodowe Centrum Nauki (NCN)
• Mitverantwortlich(e): Dr. Viktoriya Knopova
• Kooperationspartner: Professor Krzysztof Bogdan, Ph.D.