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Projekt
Theorie und Lösungsverfahren für verallgemeinerte Nash-Gleichgewichtsprobleme mit Netzwerken von nichtlinearen hyperbolischen Erhaltungsgleichungen
Antragsteller
Professor Dr. Stefan Ulbrich; Professor Dr. Michael Ulbrich
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2019 bis 2023
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 423771718
Ziel des Projektes ist die Analyse (verallgemeinerter) Nash-Gleichgewichtsprobleme (GNEPs) für Netzwerke von nichtlinearen Erhaltungs- oder Bilanzgleichungen sowie die Entwicklung und Analyse von effizienten Lösungsmethoden für diese Probleme. Netzwerke von Erhaltungsgleichungen sind ein aktives Forschungsgebiet und haben zu innovativen Modellen für Fluss- oder Transportprobleme geführt, z.B. für Verkehrs-, Supply Chain-, Daten-, Wasser- oder Gasnetzwerke. In all diesen Anwendungen liefern GNEPs mächtige Modelle für die Interaktion mehrerer nichtkooperativer Agenten, die ihre Strategien optimieren. Da Lösungen von Erhaltungsgleichungen Unstetigkeiten ausbilden können, weisen sie zusätzliche nichtglatte Strukturen auf, die in Verbindung mit Spielen sehr gut zu den Kernthemen des SPP 1962 passen. Basierend auf aktuellen Resultaten zur Existenz und Stabilität von Lösungen für Netzwerke von Erhaltungsgleichungen sowie zur optimalen Steuerung von Erhaltungsgleichungen soll ein analytischer Rahmen entwickelt werden, auf dessen Grundlage sich die Stabilität und die Differenzierbarkeit von Kostenfunktionen der Spieler zeigen lässt. Zudem soll eine Adjungierten-basierte Darstellung der Ableitung hergeleitet werden. Dies soll verwendet werden, um die Existenz von Quasi-Nash-Gleichgewichten (QNE) für nichtkonvexe NEPs sowie von QNE und quasi-variationellen Gleichgewichten (QVE) für nichtkonvexe GNEPs dieses Typs zu zeigen. Hierbei sind Quasi-Gleichgewichte durch Variationsungleichungen charakterisiert, welche die Optimalitätssysteme erster Ordnung der Spieler aggregieren. Für Spiele mit konvexen zulässigen Mengen sollen die Beziehungen zwischen QNE bzw. QVE und globalen Minima von Bewertungsfunktionen, die auf regularisierten Nikaido-Isoda Funktion basieren, untersucht und daraus mit Hilfe proximaler Beste-Antwort-Funktionen Existenzresultate gezeigt werden. Da die betrachteten Spiele nichtkonvex sind, werden wir die Differenzierbarkeit dieser Bewertungsfunktionen studieren und global konvergente Abstiegsverfahren für konvex restringierte (G)NEPs entwickeln. Im Fall nichtkonvexer Restriktionen, insbes. Zustandsnebendingungen, sollen QNE / QVE Konzepte unter Verwendung von Lagrangemultiplikatoren und geeigneten Constraint Qualifications hergeleitet und die Existenz von Gleichgewichten gezeigt werden. Für (G)NEPs mit nichtkonvexen Restriktionen sollen Augmented-Lagrange-Methoden entwickelt werden, die eine Folge konvex restringierter (G)NEPs approximativ lösen, auf welche obige Verfahren anwendbar sind. Möglichkeiten zur Beschleunigung dieser Abstiegsmethoden durch nichtglatte Newtonschritte sowie Ideen zur Dekomposition mittels Blockiterationen sollen erforscht werden. Obwohl die Methoden durch Spiele auf hyperbolischen Netzwerken motiviert sind, wird ihr Design auch für andere PDE-restringierte Spiele geeignet sein.Die entwickelten Methoden sollen implementiert und anhand von Spielen in Verkehrsnetzen und Supply Chains getestet werden.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
