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Projekt
Nichtglatte Multi-Level Optimierungsalgorithmen für energetische Formulierungen von Elastoplastizität bei finiten Verzerrungen
Antragsteller
Professor Dr. Oliver Sander; Professor Dr. Anton Schiela
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2019 bis 2023
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 423764152
Energetische Formulierungen von elastoplastischen Problemen bei finiten Verzerrungen sind ein Beispiel in der allgemeinen Klasse der ratenunabhängigen Systeme. Sie verallgemeinern die primale Formulierung der Elastoplastizität bei kleinen Verzerrungen. Die Variablensind hier Verschiebung, plastische Verzerrung und ggf. Verfestigungsvariablen. Da in den Formulierungen keine Ableitungen auftreten, können hiermit nichtglatte Phänomene besonders elegant modelliert werden.In der energetischen Formulierung hat jeder Zeitschritt eines elastoplastischen Problems die Struktur eines Minimierungsproblems, das mit Optimierungsalgorithmen gelöst werden kann. Diese inkrementellen Minimierungsprobleme vereinigen mehrere Schwierigkeiten: Sie sind sehr nichtlinear, nichtkonvex und nichtglatt und einige der Variablen leben auf Lie-Gruppen. Damit modelliert man die Inkompressibilität der plastischen Verformung. Andererseits sind die nichtglatten Terme des diskretisierten Problems blockseparabel, können also als Summe von nichtglatten Funktionen über kleine disjunkte Teilmengen der unabhängigen Variablen geschrieben werden. Diese Struktur kann von Optimierungsalgorithmen genutzt werden.In diesem Projekt planen wir die Entwicklung effizienter Optimierungslöser für energetische Formulierungen von elastoplastischen Problemen bei finiten Verzerrungen. Die spezielle Problemstruktur motiviert die Nutzung von proximalen Newton-Methoden. Das gegebene nichtkonvexe Problem wird durch eine eine Folge von einfacheren konvexen, aber immer noch nichtglatten Problemen ersetzt. Diese Teilprobleme werden effizient mit Hilfe einer nichtglatten Mehrgittermethode gelöst. Damit kann die bekannte Einschränkung von proximalen Newton-Methoden überwunden werden: Typischerweise fehlen hierfür nämlich effiziente Löser für die Teilprobleme.Wir untersuchen zwei alternative Ansätze zur Umsetzung der Inkompressibilitätsbedingung für die plastische Deformation. Einerseits betrachten wir die plastischen Verzerrungen als Elemente des Vektorraums der Matrizen und fordern eine geeignete Gleichungsnebenbedingung. Das entsprechende Problem wird durch eine nichtglatte Composite Step Methode gelöst. Als Alternative verallgemeinern wir die proximale Newton-Methode zu einem Optimierungsalgorithmus auf einer Mannigfaltigkeit. Schließlich vergleichen wir beide Varianten anhand einer Anzahl von Benchmark-Problemen.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
