Netze von Standard-Unterräumen auf kausalen symmetrischen Räumen

• Antragsteller: Professor Dr. Karl-Hermann Neeb
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 423506586

In diesem Projekt studieren wir die geometrischen Eigenschaften des Raums Stand(H) der Standard-Unterraueme eines komplexen Hilbertraums H durch antiunitaere Darstellungen endlichdimensionaler Lie-Gruppen. Dies führt uns auf homogene Raeume, die die Struktur eines geordneten Dilationsraums tragen, einer Verallgemeinerung der geordneten symmetrischen Raeume vom Cayley-Typ. Das Hauptziel ist das Verständnis der Struktur dieser Raeume. Ein abgeschlossener reeller Unterraum V eines komplex Hilbertraums H ist ein Standard-Unterraum, wenn V den Unterraum i V trivial schneidet und beide einen dichten Unterraum von H erzeugen. Die Menge Stand(H) der Standard-Unterraeume von H trägt 3 evidente Strukturen: Ordnung durch Inklusion, Dualität durch symplektische Orthogonalraeume, und Symmetrien durch antiunitaere Operatoren. Darüber hinaus definiert jeder Standardunterraum modulare Operatoren, die durch Symmetrien operieren. So erhalten wir ein einfacheres, aber recht treues Abbild der Strukturen der modularen Theorie der Operatoralgebren. In diesem Sinn ist dieses Projekt insbesondere motiviert durch die kürzlich entwickelte Methode der modularen Lokalisierung in der Theorie der Netze lokaler Observable in der Quantenfeldtheorie (QFT). Antiunitaere Darstellungen endlichdimensionaler Lie-Gruppen G erlauben es uns, die Geometrie von Stand(H) durch G-Bahnen in diesem Raum zu studieren. Diese Bahnen tragen reiche geometrische Struktur, denn sie sind geordnete Dilationsraeume und unser Hauptziel ist das Verständnis dieser Raeume. Da dies in dieser Allgemeinheit hoffnungslos ist, beschraenken wir uns auf diejenigen Räume, die durch monotone Dilations-Geodaeten erzeugt werden. Durch Arbeiten von Borchers und Wiesbrock wissen wir, dass diese Annahme im Kontext der QFT ausgesprochen natuerlich ist, da sie dort einer positiven Spektralbedingung fuer gewissen Einparametergruppen entspricht. Die konkreten Ziele auf der Ebene der Lie-Algebren betreffen 2-dimensionale nichtabelsche Unteralgebren, die invariante Kegel schneiden. Diese Strukturen sind dadurch zugänglich, dass die Struktur der Lie-Algebren mit erzeugenden spitzen invarianten Kegel seit mehr als 20 Jahren gut bekannt ist. Auf der geometrischen Ebene betreffen die neuen Resultate Erweiterungen der Theorie der geordneten symmetrischen Räume auf homogene Dilationsräume. Ein zentrales Problem hierbei ist es, für eine antiunitaere Darstellung einer Lie-Gruppe G und einen Standardunterraum V, der auf natürliche Weise durch G bestimmt wird, die Unterhalbgruppe derjenigen Elemente zu bestimmen, die V in sich abbilden.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen